Элементы теории функций и функциональный анализ. Часть 1

Укажите спектр линейного оператора А в евклидовом пространстве R2 A = :

• {; 1}
• {-6;-1}
• {-1;-}
• {1;6}

Если для двух норм и на конечномерном пространстве существуют такие и , что выполнимо двойное неравенство , то эти нормы называются _________ (какими?)

Скалярное произведение функций f(x) и g(x) в пространстве определяется по формуле: (f(x),g(x)) = f(x)×g(x)dx.Тогда скалярное произведение элементов sinх и cosx в пространстве равно ___________ (укажите ответ в виде десятичной дроби)

__________ ( какие?) две нормы в конечномерном пространстве эквивалентны (заполните пробел одним словом)

Интегральное уравнение Фредгольма x(t) — lK(t,s)x(s)ds = y(t) c параметром l решается методом последовательных приближений при , где В = . Тогда интегральное уравнение Фредгольма x(t) — lcost×sins×x(s)ds = y(t) решается методом последовательных приближений при l, меньшем

Уравнение х(t) -cos(t+2s)x(s)ds = cos2t является интегральным уравнением Фредгольма _______ (какого?) рода (укажите порядок словом)

Скалярное произведение функций f(x) и g(x) в пространстве L2 [a,b] определяется по формуле: (f(x),g(x)) = f(x)×g(x)dx. Тогда скалярное произведение элементов 2х и в пространстве L2 [0,2] равно

• 4е4
• 4е2
• е4 — 1
• е2 — 1

Завершите определение: совокупность всех открытых подмножеств множества называется____________ ( чем?) на множестве

Норма интегрального оператора Фредгольма с квадратично интегрируемым ядром К(t,s) не превосходит числа В = . Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = t3s4 в пространстве L2[0,1] B равна

Норма В интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) в пространстве L2[a,b] определяется по формуле В = . Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = et+s в пространстве L2[0,ln2] равна _______ (укажите ответ в виде десятичной дроби)

Норма элемента f(x) в пространстве С [a,b] определяется по формуле: = . Тогда норма элемента sinx в пространстве С [-,] равна

Пусть — непрерывная на функция. Оператор отображает . Норма этого оператора равна

Известно, что расстояние от точки линейного нормированного пространства до гиперплоскости находится по формуле . Если и , то равно

• sin1
• 1

В пространстве найдите решение интегрального уравнения , если , , , (укажите число)

Норма интегрального оператора Фредгольма с квадратично интегрируемым ядром К(t,s) не превосходит числа В = . Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = sin(t)×cos(s) в пространстве L2[0,p] B равна

Пусть евклидово, или унитарное, пространство со скалярным произведением. Известно, что оператор самосопряженный. Укажите возможные виды матрицы этого оператора: матрица

• эрмитова
• симметрична
• диагональна
• треугольная

Уравнение x(t) — x(s)ds = et является интегральным уравнением Фредгольма _____ (какого?) рода (укажите порядок словом)

Норма интегрального оператора Фредгольма с квадратично интегрируемым ядром К(t,s) не превосходит числа В = . Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = et+s в пространстве L2[0,ln2] B равна

• 1,5
• 1,9
• 0,5
• 2,5

Укажите соответствие между интегральным уравнением и его видом

• х(t) -cos(t+2s)x(s)ds = cos2t
• уравнение Фредгольма первого рода
• ln(t2+ts+s2)x(s)ds = t + 3
• уравнение Вольтерра первого рода
• ( t6+s6)x(s)ds = sint
• уравнение Фредгольма второго рода

Если , то любое нормированное пространство _________ одновременно метрическим пространством (заполните пробел для верного утверждения)

Точка х Î А называется предельной для подмножества В Í А, если любая e-окрестность точки х содержит точку множества В, отличную от точки х. Тогда множеством предельных точек множества решений неравенства х2siny

х2siny > 1
х2siny £ 1
х2siny ³ 1
х2siny = 1

• х2siny > 1
• х2siny £ 1
• х2siny ³ 1
• х2siny = 1

Имеем линейное нормированное пространство и определенный на функционал является

• ограниченным
• непрерывным
• линейным
• вполне непрерывным

Какое условие на задано в определении сжатого отображения: сжатое отображение — отображение метрического пространства в себя, для которого существует , меньшее____________ (укажите ответ словом), такое, что для любых выполнено

Интегральное уравнение Фредгольма x(t) — lK(t,s)x(s)ds = y(t) c параметром l решается методом последовательных приближений при, где В = . Тогда интегральное уравнение Фредгольма x(t) — l(ts)3 x(s) ds = y(t) решается методом последовательных приближений при l, меньшем

• 7
• 6
• 9
• 8

Косинус угла между элементами f(x) и g(x) в пространстве L2 [a,b] определяется по формуле: cos(f(x),g(x)) = ; (f(x),g(x)) = f(x)×g(x)dx ; = . Тогда косинус угла между элементами x2 и x3 в пространстве L2 [0,2] равен

Интегральное уравнение х(t) — ln(t2s — s3)x(s)ds = et является интегральным уравнением Вольтерра _____________ рода (ответ – словом)

Норма элемента f(x) в пространстве определяется по формуле: = . Тогда норма элемента в пространстве равна ___________ (укажите целое число)

Рассмотрим самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве:для . Укажите варианты для области значений оператора:

• всегда замкнута
• может быть замкнутой
• может быть незамкнутой
• всегда открыта

Коэффициент ряда Фурье элемента f(x) = x по ортогональной системе 1, coskx, sinkx, k = 1,2,… пространства при sinx равен ___ (укажите целое число)

Рассматривается линейный самосопряженный вполне непрерывный оператор . Укажите верные утверждения:

• если оператор A ненулевой , то он имеет по крайней мере одно отличное от нуля собственное значение
• собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны
• собственное подпространство такого оператора конечномерно при
• в пространстве существует единственный базис из собственных векторов

Норма элемента f(x) в пространстве L2 [a,b] определяется по формуле: = . Тогда норма элемента x4 в пространстве L2 [-1,1] равна

• 3
• 1

Укажите спектр линейного оператора А в евклидовом пространстве R2 A = :

• {-0,5; }
• { ; 0,5}
• {2;7}
• {-7;-2}

Укажите, какие условия определяют линейность оператора : А) его область определения является подпространством в ; В) для любых ; С) для любых и любого числа ; D) для любых

• одновременно A), B) и С)
• все
• только A) и D)
• каждое из B),С) и D)

Пусть оператор линейный. Если он вполне непрерывный, то каждое комплексное число является для него либо _________, либо _________

• собственным числом
• регулярным числом
• характеристическим числом
• нормой

Неравенство превращается в неравенство треугольника при , равном __ (укажите целое число)

Найдите норму линейного ограниченного оператора , (укажите число)

Укажите верные утверждения. Если — сжатое отображение полного метрического пространства в себя и — коэффициент сжатия, то имеет

• для любых
• для любого последовательность сходится к
• справедлива оценка
• единственную неподвижную точку

Ортогональная система векторов называется полной, если ряд Фурье любого элемента сходится к в смысле

• нормы
• фундаментальной сходимости
• условной сходимости
• абсолютной сходимости

Норма оператора , действующего в , равна _______ (укажите число)

Пусть , . Задача о собственных значениях и собственных функциях данного оператора равносильна решению дифференциального уравнения . Установите соответствия между собственными значениями и собственными функциями

• ,
• ,
• ,

Имеем линейное нормированное пространство и определенный на функционал является

• ограниченным
• линейным
• вполне непрерывным
• непрерывным

Укажите регулярные числа оператора А в евклидовом пространстве R2 A = :

• (-¥,-6) È (-6,-1) È (-1,+ ¥)
• (-¥,1) È (1,6) È (6,+ ¥)
• (-¥,-1) È (-1,-) È (-,+ ¥)
• (-¥,) È (,1) È (1,+ ¥)

Многочлены Лежандра: Р0 = 1, Р1(х) = х, Р2 = (3х2 — 1). Разложение элемента f(x) = -6×2 +x -5 по многочленам Лежандра имеет вид:

• f(x) = -7P0 + P1 — 4P2
• f(x) = -6P0 + P1 — 5P2
• f(x) = -5P0 + P1 — 6P2
• f(x) = -6P0 + 2P1 — 5P2

Множество всех собственных векторов данного оператора, отвечающих данному собственному значению, являются линейным подпространством, называемым _________ (каким?) подпространством

Пусть и соответственно замкнутое и открытое множество топологического пространства . Тогда (укажите верные утверждения): A) замкнуто , B) открыто

• только А)
• только В)
• оба верны
• оба неверны

Коэффициент ряда Фурье элемента f(x) = x2 по ортогональной системе 1, coskx, sinkx, k = 1,2,… пространства L2[-p,p] при сosx равен

• 0
• -5
• -4
• -2

Ортогональная система состоит из векторов

• линейно-независимых
• векторное произведение любых двух векторов равно нулю
• скалярное произведение любых двух векторов равно нулю
• имеющих равные модули

Коэффициент ряда Фурье элемента f(x) = x по ортогональной системе 1, coskx, sinkx, k = 1,2,… пространства при sin2x равен ____ (укажите целое число)

Если j(х) является отображением отрезка [a,b] в себя и имеет непрерывную производную j¢(х) на отрезке [a,b], то коэффициент сжатия оценивается по формуле q = êj¢(х) ê . Тогда отображение j(х) = cosx — 1 отрезка [-;] в себя является сжатым с коэффициентом сжатия

• —

Укажите спектр линейного оператора А в евклидовом пространстве R2 A = :

• {-; 0,1}
• {-0,1; }
• {-10;3}
• {-3;10}