Линейная алгебра. Часть 1

Если матрица К = , то транспонированная матрица К Т

• К Т =
• К Т =
• К Т =
• К Т =

В евклидовом пространстве матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является

• диагональной
• треугольной
• ортогональной
• единичной

Матрица самосопряженного оператора в любом ортонормированном базисе является

• треугольной
• симметрической
• кососимметрической
• единичной

Матрица А имеет порядок m x n, а В — k x d. Чтобы их перемножить, необходимо чтобы

• n = d
• m = d
• n = k
• m = k

Из перечисленных систем 1. ; 2. ; 3. ; 4. несовместной является

• 2
• 1
• 4
• 3

Система векторов е1 = (1,0,-1); е2 = (1,0,1); е3 = (0,1,0) в евклидовом арифметическом пространстве R3 образует базис

• неортогональный
• прямоугольный
• ортонормированный
• ортогональный

Если матрицы А = и В = , то их сумма равна

• D)
• B)
• A)
• C)

Система уравнений, у которой не существует решения, называется

• несовместной
• нулевой
• однородной
• неоднородной

Подмножество данного линейного пространства, замкнутое относительно линейных операций, введенных в данном линейном пространстве, является

• линейным подпространством
• проекцией пространства
• базисным подмножеством
• его линейной оболочкой

В евклидовом пространстве при переходе из одного ортонормированного базиса в другой с матрицей перехода U формулу преобразования матрицы линейного оператора можно записать в виде

• А1 = UАUТ
• А1 = U ТАU
• А1 = UАU-1
• А1 = U ТА-1U

Любая ортогональная система ненулевых векторов

• компланарна
• линейно зависима
• бесконечномерна
• линейно независима

Для любых векторов х, у евклидова пространства Е справедливо неравенство Коши — Буняковского

• (х, у) ³ (х, х)(у, у)
• (х, у) > (х, х)(у, у)
• (х, у)
• (х, у) £ (х, х)(у, у)

Если собственные значения линейного оператора А : L ® L попарно различны, тогда система соответствующих им собственных векторов

• ортогональная
• линейно зависимая
• ортонормироваанная
• линейно независимая

Если в матрице все элементы главной диагонали равны единице, а все остальные элементы — нулевые, то такая матрица называется

• единичной
• вектор-столбцом
• нулевой
• вектор-строкой

Метод приведения матриц к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований 1-го и 2-го типа называют методом

• Силвера
• Гаусса
• Гамильтона
• Вейерштрасса

Два вектора в евклидовом пространстве ортогональны, если их скалярное произведение равно

• 0
• -1
• а
• 1

Из перечисленных систем 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. совместны

• 1; 3
• 3; 5
• 4; 5
• 2; 4

Элемент матрицы Грама определяется формулой

• g ij = (еi+j, еj)
• g ij = (еi, еj)-1
• g ij = (еi, еj)2
• g ij = (еi, еj)

Квадратичная форма xTAx от трех переменных с матрицей А= определена

• неположительно
• положительно
• неотрицательно
• отрицательно

В линейном пространстве К2[x] многочленов переменной х степени не выше второй элемент 2х2 +3х + 4 имеет в базисе 1,х,х2 координаты:

• 4, 2, 3
• 2, 3, 4
• 3, 4, 2
• 4, 3, 2

Множество собственных векторов, отвечающих собственному значению l линейного оператора А : L ® L, является в L

• ортонормированным базисом
• ортогональным базисом
• линейным подпространством
• линейной оболочкой базиса

Ранг матрицы В = равен

• 3
• 4
• 1
• 2

Система уравнений совместна, если ранги матриц (r () — расширенной, r (A) — основной) удовлетворяют условию

• r () > r (A)
• r () = r (A)
• r () ¹ r (A)
• r ()

Определитель матрицы L = равен

• det L = 4
• det L = 0
• det L = -2
• det L = -3

Для того, чтобы действительное число l являлось собственным значением линейного оператора, необходимо и достаточно, чтобы оно было корнем уравнения

• det (A-lЕ) = 0
• det (lA-1-Е) = 0
• det (lA-Е) = 0
• det (A-l-1Е) = 0

Число собственных значений самосопряженного оператора, действующего в n-мерном евклидовом пространстве, равно с учетом их кратности k числу

• nk
• n + k
• n-k
• n

В матрице Д = побочную диагональ составляют элементы

• -6; 1; 2; 2
• 7; 5; 3; 2
• 4; 1; 0; 7
• -4; 0; 2; -1

Матрица оператора А : L ® L равна А =, вектор х=е1+2е2+3е3, тогда вектор у=Ах равен

• е1 + 2е2 + 3е3
• 2е1 + 3е3
• -2е2 + 3е3
• 3е1 + 3е2

Матрица, транспонированная к ортогональной матрице, является матрицей

• симметрической
• треугольной
• диагональной
• ортогональной

В линейном пространстве V3 любые три компланарных вектора

• являются базисными
• линейно зависимы
• не лежат в плоскости
• линейно независимы

Собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям

• ортонормированы
• линейно зависимы
• одной длины
• ортогональны

Из перечисленных матриц 1. К31; 2. Д22; 3. М35; 4. N32; 5. С15 можно перемножить

• 1; 4
• 1; 5
• 2; 5
• 3; 5

Максимальное число линейно независимых вектор-столбцов (строк) называется

• линейным коэффициентом матрицы
• порядком матрицы
• рангом матрицы
• степенью матрицы

Расширенной матрицей системы уравнений является матрица

• N =
• М =
• К =
• L =

Квадратичная форма xTAx от трех переменных с матрицей А= определена

• неотрицательно
• отрицательно
• положительно
• неположительно

Квадратичная форма xTAx от трех переменных с матрицей А= определена

• неположительно
• положительно
• неотрицательно
• отрицательно

Матрицы Аb и Ае линейного оператора А : L ® L, записанные в базисах b и е линейного пространства L, для которых матрица перехода равна U, связаны друг с другом соотношением

• Ае = U-1Аb U
• Аb = U-1Аe U
• Ав = UАe U
• Ае = UАb U-1

Квадратные матрицы А и В порядка n называют подобными, если существует такая невырожденная матрица Р, что

• Р -1АР = В
• Р АР-1 = В
• Р ТАР = В
• Р АРТ = В

Векторы (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) из пространства V3

• параллельны
• компланарны
• ортогональны
• коллинеарны

Квадратичная форма xTAx от трех переменных с матрицей А= определена

• неотрицательно
• неположительно
• положительно
• отрицательно

Квадратичная форма xTAx от трех переменных с матрицей А= определена

• неотрицательно
• неположительно
• положительно
• отрицательно

Линейный оператор А, действующий в евклидовом пространстве Е, называют ортогональным оператором, если он сохраняет в Е

• координаты вектора
• произведение вектора на число
• скалярное произведение
• векторное произведение

Квадратичная форма канонического вида не имеет в своей записи

• неотрицательных коэффициентов
• попарных произведений переменных
• квадратов некоторых переменных
• отличающихся друг от друга коэффициентов

Если матрица А54, то из перечисленных матриц 1. В53 2. С45 3. Д43 4. К35 5. М41 6. N45 транспонированными к А могут являться

• 1; 4
• 2; 6
• 3; 5
• 2; 4

Матрица, обратная к ортогональной, является матрицей

• ортогональной
• треугольной
• диагональной
• симметрической

Если линейный оператор А, действующий в евклидовом пространстве Е, ортогональный, то он переводит ортонормированный базис в

• ортонормированный
• перпендикулярный
• прямоугольный
• ортогональный

Матрица линейного оператора А, действующего в некотором линейном пространстве, является в данном базисе диагональной тогда и только тогда, когда все векторы этого базиса являются

• линейно независимыми
• ортонормированными
• собственными для А
• ортогональными

Неравенство треугольника выражается формулой

• || х+у ||
• || х+у || > || х ||+|| у ||
• || х+у || £ || х ||+|| у ||
• || х+у || ³ || х ||+|| у ||

Квадратичная форма xTAx от трех переменных с матрицей А= определена

• неотрицательно
• неположительно
• отрицательно
• положительно

Пусть А : L ® L — линейный оператор. Тогда столбец у координат вектора у = А(х) в заданном базисе b линейного пространства L выражается через столбец координат вектора х и матрицу А линейного оператора формулой

• у = хА
• у = Ах
• у = А-1х
• у= хА-1