Линейная алгебра (курс 1). Часть 1

Если векторы х и у из евклидова пространства ортогональны, то

• || х + у ||2 = || х ||2 — || у ||2
• || х + у ||2 = || х ||2 + || у ||2
• || х + у ||2 £ || х ||2 + || у ||2
• || х + у ||2 ³ || х ||2 + || у ||2

Два вектора в евклидовом пространстве ортогональны, если их скалярное произведение равно

• а
• 0
• 1
• -1

Пусть l1, l2 ,…., ln — собственные значения линейного оператора А, тогда собственными значениями оператора А2 будут

• l12, l22 ,…., ln2
• l1-1, l2-1,….,ln-1
• 2l1,2l2 ,…., 2ln
• l12, l2-2 ,…., ln

Определитель матрицы К = равен

• det K = -10
• det K =0
• det K = 4
• det K = 10

В линейном пространстве К2[x] многочленов переменной х степени не выше второй элемент 2х2 +3х + 4 имеет в базисе 1,х,х2 координаты:

• 4, 2, 3
• 4, 3, 2
• 3, 4, 2
• 2, 3, 4

Любая симметрическая матрица М порядка n подобна некоторой

• диагональной
• треугольной
• ортогональной
• квадратной

Ранг матрицы В = равен

• 3
• 4
• 1
• 2

В линейном пространстве К2[x] многочленов переменной х степени не выше второй элемент 3х2 +5х + 4 имеет в базисе 1,х,х2 координаты

• 5, 3, 4
• 4,3 ,5
• 3, 4, 5
• 4, 5, 3

Максимальное число линейно независимых вектор-столбцов (строк) матрицы называется

• порядком матрицы
• линейным коэффициентом матрицы
• степенью матрицы
• рангом матрицы

В линейном пространстве V2 любые два коллинеарных вектора

• зависят от третьего
• линейно зависимы
• линейно независимы
• не зависят друг от друга

Если В=(1, 1, 1) и А=, то матрица-произведение С=А·В равна

• А·В=
• А·В=
• А·В=-1
• А·В=0

Если А и В — два линейных оператора, действующих в евклидовом пространстве Е, то оператор (АВ)*, сопряженный произведению этих операторов, равен

• А*В*
• В*А*
• (В-1)*А*
• (АВ)-1

Расширенная матрица системы А приведена к виду . Такая система

• имеет единственное решение
• r(А)=r()
• несовместима
• имеет 3 решения

Квадратичная форма xTAx от трех переменных с матрицей А= определена

• положительно
• неотрицательно
• отрицательно
• неположительно

Для того чтобы квадратичная форма f(х)= xTAx от n переменных была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы для угловых миноров матрицы А выполнялись неравенства:

• D1 > 0, D2 > 0, D3 > 0, …, Dn > 0
• D1 ³ 0, D2 ³ 0, D3 ³ 0, …, Dn ³ 0
• D1 £ 0, D2 £ 0, D3 £ 0, …, Dn £ 0
• D1 2 3 n

В евклидовом пространстве матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является

• треугольной
• ортогональной
• единичной
• диагональной

Отображение А : R2 ® R2, заданное выражением Ах = (-хsin a, ycos a ), где а — некоторый фиксированный угол, является

• нелинейным
• вращательным
• линейным
• поворотом R2

Матрица К = , обратная ей

• К-1 =
• К-1 =
• К-1 =
• К-1 =

Метод приведения матриц к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований 1-го и 2-го типа называют методом

• Гамильтона
• Гаусса
• Вейерштрасса
• Сильвестра

Если А = (аij)nn квадратная матрица, то побочную диагональ образуют элементы

• а11, а12, . . . , а1n
• аn1 , а2n , . . . , аnn
• а1n, а2n-1, . . . , аn1
• а11, а22, . . . , аnn

В матрице В = главную диагональ составляют элементы

• 0; -3; 2; 9
• -1; 2; 0; 11
• -4; 1; 0; 3
• 5; 1; -3; 2

В матрице А = главную диагональ составляют элементы

• 2; -1; 0; -1
• 2; 5; -8; 4
• 4; 0; 0; 5
• 5; 7; 6; -1

Система уравнений имеет

• два решения
• единственное решение
• множество решений
• лишь нулевое решение

Матрица А=, тогда ее определитель равен

• det A=1
• det A=-1
• det A=6
• det A=0

Если определитель матрицы detA=5, тогда определитель транспонированной матрицы det(A), равен

• 10
• 1
• 5

Порядок матрицы С = А·В, где А — порядка 1·2, В — 2·3 равен

• 1·2
• 2·3
• 1·3
• 2·2

Квадратичная форма xTAx от трех переменных с матрицей А= определена

• отрицательно
• неположительно
• положительно
• неотрицательно

Система имеет

• 3 решения
• множество решений
• единственное решение
• несовместна

Квадратичная форма f(x) = xTAx, где x = (x1, …, xn)T неотрицательно определенная, если для любого ненулевого столбца х выполняется неравенство

• f(x) = 0
• f(x) ³ 0
• f(x) ¹ 0
• f(x) > 0

Любая ортогональная система ненулевых векторов

• бесконечномерна
• компланарна
• линейно независима
• линейно зависима

Если матрицы А и В подобны В=Р‾¹АР, то

• det A = (det B)= 1
• det A = det B — det Р
• det A = det B + det Р
• det A = det B

Квадратичная форма xTAx от трех переменных с матрицей А= является

• знакопеременной
• знакоопределенной
• отрицательно определенной
• положительно определенной

В линейном пространстве С[ 0,2p] функций, непрерывных на отрезке [0,2p], линейно независимой является система функций

• 1, sin2x, cos 2x
• 1, sin2 x, cos2x
• 1, sin x, sin2 x
• 1, cos2x, cos 2x

Квадратичная форма канонического вида не имеет в своей записи

• неотрицательных коэффициентов
• отличающихся друг от друга коэффициентов
• попарных произведений переменных
• квадратов некоторых переменных

Если матрица А является симметрической, то все корни ее характеристического уравнения

• положительные
• действительные
• ненулевые
• отрицательные

Если в системе уравнений b1 = b2 = … = bm = 0, то система называется

• нулевой
• однородной
• несовместной
• неоднородной

Элемент матрицы Грама определяется формулой

• g ij = (еi, еj)-1
• g ij = (еi+j, еj)
• g ij = (еi, еj)
• g ij = (еi, еj)2

Ранг матрицы А = равен

• 4
• 2
• 1
• 3

Пусть А=, В=, тогда det(A+B)

• 2+3
• не существует
• 1+1+1
• равен 2

Все корни характеристического уравнения самосопряженного оператора

• положительные
• действительные
• различающиеся
• одинаковые

Характеристическое уравнение матрицы А =имеет вид

• (l-8)(0l-1) — 3 = 0
• (8l-1)(l-0) + 3 = 0
• (3-l)(1-l) — 8 = 0
• (8-l)(0-l) — 3 = 0

Матрица оператора А : L ® L равна А = , вектор х=е1+2е2+3е3, тогда вектор у=Ах равен

• 4е1 + 4е2 + е3
• 2е1 — 2е2 + 3е3
• 2е1 + 4е2 + 4е3
• 2е1 + 4е2 + 3е3

Если матрица К = , то транспонированная матрица К Т

• К Т =
• К Т =
• К Т =
• К Т =

Характеристическое уравнение матрицы А = имеет вид

• (7-l)(1- l) = 0
• (7l-1)(l -1) = 0
• (7-l)(1-l) -2 = 0
• (2-l)(0-l) -7 = 0

Если линейный оператор А, действующий в евклидовом пространстве Е, ортогональный, то он переводит ортонормированный базис в

• ортонормированный
• ортогональный
• прямоугольный
• перпендикулярный

Система линейных уравнений А имеет единственное решение, если

• detA=0
• r(A)
• нет свободных переменных
• число уравнений равно числу неизвестных

Характеристическое уравнение матрицы А = имеет вид

• (9-l)(-2-l) — 1 = 0
• (9l-1)(-2l -1) = 0
• (0-l)(1-l) — 18 = 0
• (9-l)(-2- l) = 0

Если в системе уравнений хотя бы одно из чисел b1, b2, …, bm не равно нулю, то эта система называется

• неоднородной
• несовместной
• совместной
• однородной

Если матрица линейного оператора в некотором ортогональном базисе ортогональна, то этот оператор

• тождественный
• ортогональный
• проектирования
• самосопряженный

Линейный оператор А* : Е ® Е называется сопряженным к линейному оператору А : Е® Е, если для любых векторов х, у Î Е верно равенство

• (Ах, у) = (х, А*у)
• (х, Ау) = (х, А*у)
• (Ах, Ау) = (х, Ау)
• (Ах, у) = (y, А*x)