Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии. Часть 1

Найти сумму собственных значений матрицы . Ответ ____________ (целое число)

Для кривых второго порядка на плоскости возможны следующие вырожденные случаи

• пара совпадающих прямых
• пустое множество
• пара точек
• пара концентрических окружностей

Собственные числа матрицы равны

Собственные числа матрицы равны

Квадратичная форма положительно определена при

• ни при каких λ

Указать соответствие между оператором Ax и координатами образа y=Ax , где в стандартном базисе

Квадратичная форма отрицательно определена при

• ни при каких λ

Матрице соответствует квадратичная форма …

Квадратичная форма является ___________ определенной

• неположительно
• неотрицательно
• отрицательно
• положительно

Найти сумму собственных значений матрицы . Ответ __________ (целое число)

В пространстве многочленов степени задан оператор дифференцирования . Его матрица в базисе , , равна

Указать соответствие между заданными векторами базиса и свойствами этого базиса

• ортогональный, нормированный
• неортогональный, ненормированный
• ортогональный, ненормированный

Линейное пространство V – это множество V элементов произвольной природы, в котором определены следующие операции, подчиняющиеся определенным аксиомам: операции

• сложения элементов
• умножения элемента на скаляр
• деления элементов
• извлечения корня из элемента

Задано характеристическое уравнение матрицы. Тогда матрица может иметь вид …

Матрице соответствует квадратичная форма …

Матрица перехода от стандартного базиса в пространстве многочленов к базису , , равна

Укажите соответствие между матрицами и их характеристическими многочленами

• λ2−7 λ+12

Линейность оператора А означает выполнение условий

• A(x+y)=A(x)+A(y)
• A(x-y)=-A(x)A(y)
• A(αx)=αA(x)
• A(xy)=A(x)A(y)

Квадратичная форма является ____________ определенной

• неположительно
• неотрицательно
• положительно
• отрицательно

Указать соответствие между заданными векторами базиса и свойствами этого базиса

• неортогональный, ненормированный
• ортогональный, нормированный
• ортогональный, ненормированный

Собственные векторы матрицы равны

Указать соответствие между оператором Ax и координатами образа y=Ax , где в стандартном базисе

Собственный вектор матрицы отвечает собственному значению

Канонический вид квадратичной формы записывается так

Скалярное произведение векторов и равно ___________ (целое число)

Вектор x называется собственным вектором матрицы A, если он обладает следующими свойствами

• вектор x ортогонален одной из координатных осей
• существует такое число λ, что Ax= λx
• вектор х ортогонален одной из координат плоскостей
• вектор x является ненулевым

В пространстве многочленов степени задан оператор дифференцирования . Его матрица в базисе , , равна

Возможны следующие виды квадратичных форм

• положительно недоопределенная
• неотрицательно определенная
• отрицательно недоопределенная
• отрицательно определенная

Скалярное произведение векторов и равно ___________ (целое число)

Координаты многочлена по базису равны

• (1, 4, –3)
• (2, 3, 1)
• (–3, 1, 4)
• (4, –3, 1)

Координаты функции по базису равны

• (–1,1)
• (1, 1)
• 4

Ранг квадратичной формы трех переменных 2ху + у2 +z2 равен

• 2
• 3
• 1
• 0

Собственные векторы матрицы равны

Координаты многочлена в стандартном базисе равны

• (3, 2, –1)
• (3, 3, –1)
• (3, 2, 1)
• (–1, 3, 3)

Даны две системы векторов . Базис в R2 образуют системы

• никакая

Характеристический многочлен матрицы имеет вид

Указать соответствие между оператором и его матрицей в стандартном базисе

Найти сумму собственных значений матрицы . Ответ __________ (целое число)

Собственные числа матрицы равны

Квадратичная форма является

• положительно определенной
• отрицательно определенной
• неотрицательно определенной
• знаконеопределенной

Канонический вид квадратичной формы записывается так

Свойства собственных векторов

• сумма модулей всех собственных векторов всегда равна единице
• векторы, коллинеарные собственному вектору, также являются собственными векторами
• собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, линейно независимы
• каждой матрице порядка n соответствует n+2 собственных вектора

В пространстве многочленов степени задан оператор дифференцирования и функция . Координаты образа по базису равны

• (1, 3, 2, 4)
• (1, 2, 3, 4)
• (3, 2, 1, 1)
• (2, 3, 4, 1)

Найти сумму собственных значений матрицы . Ответ __________ (целое число)

Координаты многочлена по стандартному базису равны

• (1, 2, 0, 0)
• (1,–1, 3, –1)
• (1, 2, 1, 1)
• (1, –2, 2, 0)

Матрицей квадратичной формы является матрица

Матрице соответствует квадратичная форма …

Каноническая форма для имеет вид

Собственный вектор матрицы отвечает собственному числу

Матрица перехода C от старого базиса f к новому базису g обладает следующими свойствами

• обратная матрица для матрицы C является матрицей перехода от нового базиса к старому
• матрица C невырождена и имеет обратную матрицу
• матрица С является трехдиагональной
• матрица C является диагональной