Математический анализ (курс 2). Часть 1

Выражение является

• полным дифференциалом
• градиентом
• вторым дифференциалом
• неполным дифференциалом

Достаточным условием минимума функции z=f(x,y) в точке P0(x0,y0) является

Частная производная функции равна

• 0

Найти производную сложной функции z=exy, x=sin2t, y=4t3

• exy
• exy(2cos2t+12t2)
• [8t3·cos2t+12t2·sin2t]

Криволинейный интеграл обладает свойствами

• ограниченности
• монотонности
• линейности
• аддитивности

Производная функции в точке в направлении, задаваемом вектором , равна

• , , , ; направляющие косинусы : , , )

Производная скалярного поля z=exy в точке P0(0,1) в направлении y=x равна

• +
• 0

Производная скалярного поля z= в точке (x0,y0) по направлению вектора равна

• 1

Если кривая задана векторным уравнением , где – длина дуги, то в некоторой точке – это

• касательная прямая
• орт касательной
• орт касательной, направленный в сторону возрастания
• орт нормали

Средней кривизной кривой (плоской или пространственной) на участке между ее точками и называется

• абсолютная величина угла между касательными прямыми в точках и
• угол между касательными в и
• отношение угла между касательными в точках и к
• абсолютная величина отношения угла между касательными прямыми в точках и к длине дуги

Найти , если

Двойной интеграл по области D, определяемой условиями , , равен ___________ (указать число)

Уравнение касательной плоскости к поверхности z=x2+y2 в точке M0(3,–1,10) имеет вид

• 3x–y+10z=0
• 6x–2y–z=0
• 2x+2y–z=0
• 6x–2y–z–10=0

Частная производная функции z=xy по переменной х в точке P0(2,1) равна

• 0
• 2
• не существует
• 1

Область определения функции есть

• внутренность окружности с центром в точке (1,0) и радиуса 2.
• внутренность окружности центром в точке (2,3) и радиуса 1.
• внутренность эллипса (включая границу) с центром в точке О(0,0) и полуосями 2 и 3

, где , . Тогда производная равна

Максимальное значение функции z=6x–x2–2y2+1 равно ________ (указать число)

Градиент функции в точке равен

Двойной интеграл , где D – треугольник с вершинами О(0,0), В(0,1), А(1,1) вычисляется следующим способом

Интеграл равен повторному интегралу

Областью определения функции является множество

• вся плоскость Оху
• вся плоскость Oxy кроме точки О(0,0) и точек окружности x2+y2=1

Криволинейный интеграл от вектор-функции вдоль кривой , равен определенному интегралу

Область определения функции z=ln(x–y) – это

• полуплоскость, расположенная под прямой y=x, причем сама прямая при рассмотрении не учитывается
• прямая y=x
• вся плоскость XoY
• часть плоскости XoY, для которой y

Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле , где D – треугольник с вершинами О(0,0), А(1,0), В(1,3)

Тогда область интегрирования D данного интеграла имеет вид

• треугольника
• прямоугольника
• окружности с радиусом
• квадрата

Градиент функции в точке равен

• 3

Производная неявной функции (x2+y2)3–3(x2+y2)+1=0 в точке P0(1,1) равна

• не существует
• 1
• –1
• 0

Полным дифференциалом функции называется выражение

Функция в точке (1, –4) имеет точку

• максимума
• минимума
• стационарную
• экстремума

Модуль градиента функции z=arctg(xy) в точке M0(1,1) равен

• 1
• 0

Стационарной точкой функции будет

• (1, –1)
• (0, 0)
• (2, –1)

Частная производная от функции z=excosy в точке (1,) равна ______________ (указать число)

Функция

• имеет экстремум в точке (0, 0)
• имеет максимум, равный 0
• имеет минимум, равный 0
• не имеет экстремума

Стационарной точкой функции z=x2+y2 будет

• (1,–1)
• (0,0)
• (–1,1)
• (0,1)

Точка является точкой максимума функции , если

• значение больше всех значений функции
• найдется такая -окрестность , что значение больше любого значения , принятого в этой окрестности
• найдется такой интервал, содержащий , что значение больше любого значения , принятого в этом интервале

Наибольшая скорость возрастания функции при переходе через точку (3, 4) равна

Областью определения функции является множество

• ; это открытая область, лежащая над параболой (рюмка параболы — вниз); сама парабола не входит в это множество

Полный дифференциал функции z=e2xy равен

• 2exydx+2exy
• e2xydx+e2xydy
• 2yexydx+2xexydy
• 2xexydx+2yexydy

Установите соответствие между формулами и значениями частных производных в данной точке

Укажите соответствие между типом полей и их определением

• часть пространства (или всё пространство), каждой точке которого ставится в соответствие значение функции u=f(x,y,z)
• стационарное поле
• часть пространства (или всё пространство) каждой точке которого ставится в соответствие значение векторной функции
• векторное поле
• скалярное или векторное поле, не зависящее от времени
• скалярное поле

Интеграл равен повторному интегралу

Наибольшая скорость возрастания скалярного поля z= при переходе через точку (6,8) равна ____________ (указать число)

Градиент функции в точке равен

• 0

Дана функция двух переменных . Тогда область определения этой функции изображена на рисунке …

и – стороны прямоугольника, – его площадь. Областью определения функции является множество

• вся плоскость, кроме точки
• вся плоскость

Градиент направлен по __________ (вставьте слово) к линии уровня u(x,y) =с , лежащей в плоскости xOy и проходящей через соответствующую точку.

Область определения функции — это

• точки, лежащие внутри окружности радиуса 3 с центром в начале координат
• вся плоскость XoY

Частным приращением функции z=f(x,y) по переменной y в точке P0(x0,y0) называется число

Производная функции в точке (1, 2) по направлению биссектрисы первого координатного угла равна

Областью определения функции z= является множество

• внутренность эллипса с центром в точке О(0,0) и полуосями a=1, b=3