Математический анализ (курс 8). Часть 1

Стационарная точка функции

• (1, 2, –6)
• не существует
• (–1, –1, –1)
• (0, 0, 0)

Выражение является

• вторым дифференциалом
• полным дифференциалом
• неполным дифференциалом
• градиентом

Необходимым условием экстремума функции в точке является

• условие
• равенство нулю частных производных , если они существуют в точке
• то, что производная в этой точке равна нулю
• то, что больше или меньше всех значений функции

Функция называется дифференцируемой в точке , если

• имеет частные производные и в этой точке
• , где А и В – постоянные числа
• имеет частные производные и

Полным дифференциалом функции называется выражение

Градиент функции в точке равен

Стационарная точка функции

• не существует
• (–2, 0)
• (0, 0)
• (–1, 0)

Частная производная функции равна

• 0

Интеграл равен повторному интегралу

Переменная величина есть функция переменных, если

• между точками и значениями установлено взаимно однозначное соответствие
• каждому значению соответствует определенная точка из
• каждой точке из множества , находящегося в , поставлено в соответствие определенное значение и, наоборот, каждому значению соответствует определенная точка
• каждой точке некоторого множества , находящегося в , по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное значение ,

Производная функции в направлении в точке равна

• 0

и – стороны прямоугольника, – его площадь. Областью определения функции является множество

• вся плоскость, кроме точки
• вся плоскость

Областью определения функции является множество

• – это открытая область, состоящая из точек под прямой

Областью определения функции является

• вся плоскость
• вся плоскость , кроме точки
• точка

Полный дифференциал функции в точке равен

Градиент функции в точке равен

• 3

Функция в точке (0, 0) имеет частные производные . Следовательно

• не существует, так как функция в точке (0, 0) имеет разрыв

Двойным интегралом от функции по области называется предел интегральных сумм _________ , где – площадь области ,

Градиент функции в точке равен

• 3
• 0

Модуль в некоторой точке равен

• кривизне кривой в этой точке
• средней кривизне
• кручению в этой точке
• единице

Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям основано на формуле

-окрестностью точки в называется

• круг с центром в этой точке
• шар с центром и радиуса , причем поверхность сферы этого шара в -окрестность не включается
• интервал с центром в этой точке
• замкнутый шар радиуса

Точка является граничной точкой множества , если

• не принадлежит
• в некоторой -окрестности есть точки из и точки, не принадлежащие
• в любой -окрестности находятся как точки из , так и точки, не принадлежащие
• лежит на границе

Точка является точкой максимума функции , если

• найдется такой интервал, содержащий , что значение больше любого значения , принятого в этом интервале
• значение больше всех значений функции
• найдется такая -окрестность , что значение больше любого значения , принятого в этой окрестности

Производная функции в направлении вектора в точке равна

• –
• 2
• 4

Градиент функции в точке равен

Известно, что в точке полное приращение данной функции есть б.м. высшего порядка в сравнении с . Тогда дифференциал в этой точке

• равен
• равен нулю
• не определен
• равен

Градиент функции в точке равен

• 0

Областью определения функции является множество

Двойной интеграл , где – область, ограниченная линиями и , равен повторному интегралу

Множество точек плоскости называется открытой областью, если

• каждая точка является для нее внутренней и любые две точки и из можно соединить непрерывной линией (ломаной, например), целиком находящейся в
• каждая точка является внутренней для
• любые две точки и из можно соединить ломаной
• любые две точки и из можно соединить ломаной, состоящей из точек

Производная функции в точке по направлению вектора равна

Полный дифференциал функции равен

Наибольшая скорость возрастания функции при переходе через точку (3, 4) равна

Если , то соответственно и равны

Число есть предел функции в точке , если

• выполняется условие
• для найдется такое, что в любой точке , принадлежащей области определения функции и попадающей в -окрестность (кроме, быть может, самой точки ) выполняется неравенство . Запись
• значения функции находятся в -окрестности

Областью определения функции является множество

Пространственная кривая задана параметрическими уравнениями . Ее векторным уравнением будет

Производная функции в направлении вектора в точке равна

• 0

Градиент функции в произвольной точке равен

Коэффициенты и в формуле для полного приращения дифференцируемой в точке функции равны

• произвольным числам
• и – б.м. высшего порядка относительно

Полный дифференциал функции равен

Производная функции в точке в направлении, задаваемом вектором , равна (, , ,

• , – угол наклона вектора )

Кривая задана уравнением . Ее нормальной плоскостью в точке, отвечающей значению t = 1, будет плоскость с уравнением

Интеграл равен

• 1
• –1
• 10
• 0

Полный дифференциал функции в точке равен

Функция имеет в точке

• (2, 3) – стационарную точку
• (–2, –3) – максимум
• (–2, –3) – минимум
• (2, 3) – максимум

Дифференциалы и принимаются равными приращениям аргументов и потому, что

• и – б.м. высшего порядка
• и – бесконечно малые
• дифференциал – главная часть приращения
• для функции будет и (для – аналогичное рассуждение)

Градиент функции в точке равен

• 0

Пространство – это

• множество точек
• в степени
• множество всевозможных упорядоченных наборов из чисел (), называемых точками этого пространства
• обобщение обычного пространства