Многомерные распределения и предельные теоремы

Вероятность появления успеха в каждом испытании равна 0,3. Тогда вероятность наступления 75 успехов при 200 испытаниях может быть определена с помощью

• теоремы Маркова
• теоремы Пуассона
• теоремы Муавра-Лапласа
• неравенства Чебышева

Всхожесть семян некоторого растения равна 0,8. Тогда вероятность того, что из 1000 посаженных семян число проросших будет заключено между 750 и 850, можно определить с помощью

• теоремы Муавра-Лапласа
• теоремы Маркова
• неравенства Чебышева
• теоремы Чебышева

Вероятности состояний марковского случайного процесса — это

Если две независимые случайные величины распределены по закону Пуассона с параметрами и , то их сумма имеет распределение

• Пуассона с параметром
• экспоненциальное с параметром
• Пуассона с параметром
• экспоненциальное с параметром

Случайные величины и называют независимыми, если функция распределения вектора может быть представлена в виде

Плотность распределения и функция распределения двумерной случайной величины связаны соотношением

Производство дает 1,5% брака. Тогда вероятность того, что из взятых на исследование 1000 изделий выбраковано будет не больше 15, может быть определена с помощью теоремы

• Муавра-Лапласа
• Чебышева
• Маркова
• Хинчина

Закон распределения дискретного случайного вектора — это совокупность всех возможных значений данного вектора и вероятностей , равных

Независимые случайные величины и имеют соответственно характеристические функции и , тогда характеристическая функция их суммы равна

Пусть случайные величины и таковы, что , — характеристическая функция , тогда характеристическая функция равна

Среднее время возвращения в состояние в цепи Маркова равно

• , где — вероятность находится в начальный момент времени в состоянии
• , где — предельная вероятность состояния
• , здесь — предельная вероятность, а — вероятность находится в начальный момент времени в состоянии
• , где — предельная вероятность состояния , — среднее время пребывания в состоянии

Для плотности распределения непрерывной двумерной случайной величины справедлива нормировка : , равная

• 1
• 0

Величина коэффициента корреляции заключена в пределах

Формула

• всегда верна
• неверна
• верна для независимых и
• верна для зависимых и

Если случайные величины независимы, то ковариация равна

• 1
• 0
• -1

Случайным вектором или n-мерной случайной величиной называют

• набор n величин, среди которых одна величина случайная
• набор случайных величин
• упорядоченный набор из n случайных величин
• набор n случайных чисел

Случайный процесс — это

• семейство случайных величин , где параметр бесконечному множеству значений
• случайная функция, заданная на множестве целых чисел
• множество случайных функций
• семейство случайных величин , где параметр принимает конечное множество значений

Плотность вероятности перехода определяется для

• пуассоновского процесса
• марковского процесса с непрерывным временем и с дискретными состояниями
• марковского процесса с дискретным временем и с дискретными состояниями
• любого случайного процесса

Формула

• верна, если
• всегда верна
• верна, если
• неверна

По теореме Муавра-Лапласа вероятность неравенства при больших вычисляется следующим образом:

Уравнения Колмогорова позволяют найти

• переходную матрицу
• вероятности состояний в марковском процессе
• предельные вероятности состояний
• размеченный граф состояний системы

Термины «некоррелированные» и «независимые» случайные величины эквивалентны для случая

• нормального распределения
• распределения Пуассона
• показательного распределения
• биномиального распределения

Независимые случайные величины имеют распределение Пуассона с параметрами и . Тогда сумма распределена по закону Пуассона с параметром , равным

• 1
• 2
• 0,75
• 0,25

Пусть случайные величины и связаны зависимостью , тогда коэффициент корреляции равен

• +1
• -7
• -1
• 0

Некоррелированность случайных величин из их независимости

• иногда не следует
• следует
• не следует
• иногда следует

Формула

• неверна
• верна, если распределение — симметрично
• верна
• верна, если может принимать только положительные значения

Марковский процесс называется однородным, если

• вероятности перехода не зависят от времени
• случайные величины ограничены
• вероятности состояний являются непрерывными функциями времени
• вероятности перехода за единицу времени не зависят от того, где на оси времени происходит переход

Пусть , где одинаково распределены и , . Утверждение

• несправедливо
• справедливо, если независимы
• справедливо, если зависимы
• справедливо всегда

Случайный процесс с непрерывным временем — это семейство случайных величин , где

• изменяется на некотором интервале (конечном или бесконечном)
• изменяется от до
• каждая случайная величина — непрерывна на некотором отрезке
• каждая случайная величина — непрерывна

Переходные вероятности марковского процесса — это вероятности перехода процесса из одного состояния в любое другое так, что равна

Если случайные величины и независимы, то дисперсия их разности равна

• 1
• 0

Игральную кость бросают 100 раз. Чтобы найти границы, в которых будет заключено число выпадений тройки с вероятностью 0,95, можно воспользоваться

• неравенством Чебышева
• теоремой Бернулли
• теоремой Пуассона
• теоремой Муавра-Лапласа

Пусть две независимые случайные величины и имеют дисперсии и , тогда равно

• 1
• 5
• 6
• 2,5

Случайная величина имеет математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию — 1, тогда вероятность того, что величина отклонится от нуля не меньше чем на 3, имеет оценку сверху

• 1/9
• 1/3
• 1
• 1/27

Формула для коэффициента корреляции имеет вид

Математическое ожидание суммы случайных величин равно

• произведению их математических ожиданий
• разности их математических ожиданий
• сумме их математических ожиданий
• частному их математических ожиданий

Свойство переходных матриц цепи Маркова —

• все их элементы отличны от нуля, а их сумма ограничена
• все их элементы неотрицательны и их суммы по строкам равны 1
• все их элементы положительны
• суммы по строкам матрицы не превосходят 1

Состояние системы (или состояние случайного процесса) — это

• при фиксированном
• возможное значение случайного процесса

Электростанция обслуживает сеть, в которой 2000 ламп, вероятность включения каждой из них в зимний вечер равна 0,8. Вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет более 1800, можно определить с помощью

• неравенства Чебышева
• теоремы Муавра-Лапласа
• теоремы Хинчина
• теоремы Пуассона

Частота события сходится по вероятности к его вероятности при увеличении числа опытов

• если событие рассматривается в схеме Бернулли
• всегда
• если вероятность стремится к нулю
• если выполнены условия теоремы Чебышева

Хи-квадрат распределение с n степенями свободы — это функция распределения случайной величины , где — независимые случайные величины, подчиненные одному и тому же закону

• нормальному с параметрами и
• Пуассона с параметром
• показательному с параметром
• Эрланга

Для однородных цепей Маркова матрица переходов

• зависит от разности времен
• имеет диагональный вид
• не зависит от времени
• не содержит нулевых элементов

Формула

• неверна
• верна для зависимых и
• всегда верна
• верна для независимых и

Среднее время пребывания в состоянии за время в цепи Маркова равно

• , где — вероятность находится в начальный момент времени в состоянии
• , где — предельная вероятность состояния
• , где — предельная вероятность состояния
• , где — предельная вероятность состояния , — вероятность находится в начальный момент времени в состоянии

Ковариация случайных величин и определяется как

Для однородного марковского процесса плотности вероятностей перехода

• зависят от
• зависят от разности (для любых моментов времени)
• не зависят от
• обладают свойством

Если случайные величины и независимы, то дисперсия их суммы равна

• 0

Чтобы определить, сколько нужно произвести опытов с бросанием монеты, когда с вероятностью 0,9 ожидать отклонение частоты выпадения «герба» от 0,5 на абсолютную величину меньшую чем 0,02, следует воспользоваться

• теоремой Муавра-Лапласа
• неравенством Чебышева
• теоремой Пуассона
• теоремой Хинчина

Непрерывный случайный вектор — это

• случайный вектор с хотя бы одной непрерывной компонентой
• набор случайных чисел
• случайный вектор с непрерывной одной компонентой
• случайный вектор, компоненты которого — непрерывные случайные величины

Функцией распределения двумерной случайной величины называют функцию двух переменных , равную