Многомерные распределения и предельные теоремы

Формула

• верна, если
• всегда верна
• верна, если
• неверна

Закон распределения дискретного случайного вектора — это совокупность всех возможных значений данного вектора и вероятностей , равных

Для однородного марковского процесса плотности вероятностей перехода

• зависят от разности (для любых моментов времени)
• зависят от
• не зависят от
• обладают свойством

Математическое ожидание суммы случайных величин равно

• сумме их математических ожиданий
• разности их математических ожиданий
• частному их математических ожиданий
• произведению их математических ожиданий

Пуассоновский процесс — это

• случайный марковский процесс с дискретными значениями и вероятностями состояний
• случайный процесс, у которого плотности вероятности перехода равны либо 0,5, либо 0
• поток случайных событий, где промежуток времени между соседними событиями распределен по показательному закону
• простейший поток случайных событий, у которого число событий , наступивших за время , является марковским процессом

Для зависимых случайных величин соотношение при

• справедливо всегда
• справедливо, если
• справедливо, если
• несправедливо

Для плотности распределения непрерывной двумерной случайной величины справедлива нормировка : , равная

• 1
• 0

Формула

• верна для зависимых и
• всегда верна
• неверна
• верна для независимых и

Производство дает 1,5% брака. Тогда вероятность того, что из взятых на исследование 1000 изделий выбраковано будет не больше 15, может быть определена с помощью теоремы

• Хинчина
• Чебышева
• Маркова
• Муавра-Лапласа

Термины «некоррелированные» и «независимые» случайные величины эквивалентны для случая

• распределения Пуассона
• показательного распределения
• нормального распределения
• биномиального распределения

Свойство переходных матриц цепи Маркова —

• все их элементы отличны от нуля, а их сумма ограничена
• все их элементы неотрицательны и их суммы по строкам равны 1
• все их элементы положительны
• суммы по строкам матрицы не превосходят 1

Формула

• верна для независимых и
• всегда верна
• верна для зависимых и
• неверна

Дискретный случайный вектор — это

• набор случайных чисел
• случайный вектор, компоненты которого дискретные случайные величины
• случайный вектор с хотя бы одной дискретной компонентой
• случайный вектор с дискретной первой компонентой

Пусть и — случайные величины и (- число). Для их характеристических функций формула

• верна для
• верна для
• неверна
• всегда справедлива

Вероятности состояний марковского случайного процесса — это

Неравенство Чебышева имеет вид

Марковский процесс называется однородным, если

• вероятности перехода не зависят от времени
• вероятности перехода за единицу времени не зависят от того, где на оси времени происходит переход
• вероятности состояний являются непрерывными функциями времени
• случайные величины ограничены

Характеристическая функция случайной величины — это функция

Дисперсия суммы двух случайных величин равна

Плотность распределения и функция распределения двумерной случайной величины связаны соотношением

Вероятность появления успеха в каждом испытании равна 0,3. Тогда вероятность наступления 75 успехов при 200 испытаниях может быть определена с помощью

• теоремы Маркова
• теоремы Пуассона
• неравенства Чебышева
• теоремы Муавра-Лапласа

Если случайные величины и связаны линейной зависимостью (где , — любое), то коэффициент корреляции равен

• +1
• -1
• 0

Пусть — плотность вероятности случайного вектора , и — плотности вероятностей координат этого вектора, причем , тогда случайные величины и

• связаны линейно
• слабо зависимы
• зависимы
• независимы

Композиция (или свертка) плотностей распределения двух случайных величин и , имеющих плотности распределения соответственно и , — это выражение вида

Независимые случайные величины имеют распределение Пуассона с параметрами и . Тогда сумма распределена по закону Пуассона с параметром , равным

• 2
• 0,75
• 0,25
• 1

Пусть , где одинаково распределены и , . Утверждение

• справедливо, если независимы
• справедливо всегда
• справедливо, если зависимы
• несправедливо

Если случайные величины и независимы, то дисперсия их разности равна

• 1
• 0

Состояние системы (или состояние случайного процесса) — это

• при фиксированном
• возможное значение случайного процесса

Формула

• верна
• верна, если распределение — симметрично
• неверна
• верна, если может принимать только положительные значения

Случайная величина имеет математическое ожидание и дисперсию . Тогда вероятность того, что величина отклонится от своего математического ожидания не менее чем на , имеет оценку сверху

• 0,25
• 0,04
• 0,2
• 0,5

Некоррелированность случайных величин из их независимости

• следует
• иногда следует
• иногда не следует
• не следует

Чтобы определить, сколько нужно произвести опытов с бросанием монеты, когда с вероятностью 0,9 ожидать отклонение частоты выпадения «герба» от 0,5 на абсолютную величину меньшую чем 0,02, следует воспользоваться

• неравенством Чебышева
• теоремой Хинчина
• теоремой Пуассона
• теоремой Муавра-Лапласа

Пусть и — случайные величины и ( число). Для их характеристических функций формула

• всегда справедлива
• верна для
• несправедлива
• верна для

Цепь Маркова — марковский случайный процесс с

• дискретным временем и дискретным конечным множеством состояний
• дискретным конечным множеством состояний
• дискретным или непрерывным временем
• дискретным временем

При больших соотношение

• неверно
• справедливо для любой случайной величины
• справедливо, если подчиняются биномиальному закону распределения
• справедливо для дискретных величин

Если случайные величины и связаны линейной зависимостью (где , — любое), то коэффициент корреляции равен

• +1
• 0
• -1

Математическое ожидание и дисперсия -распределения с n степенями свободы равны соответственно

Пусть случайные величины и связаны зависимостью , тогда коэффициент корреляции равен

• 1
• -1
• 5
• 0

Если две независимые случайные величины распределены по закону Пуассона с параметрами и , то их сумма имеет распределение

• Экспоненциальное с параметром
• Пуассона с параметром
• Экспоненциальное с параметром
• Пуассона с параметром

Функцией распределения двумерной случайной величины называют функцию двух переменных , равную

Случайные величины и называют независимыми, если функция распределения вектора может быть представлена в виде

Всхожесть семян некоторого растения равна 0,8. Тогда вероятность того, что из 1000 посаженных семян число проросших будет заключено между 750 и 850, можно определить с помощью

• неравенства Чебышева
• теоремы Маркова
• теоремы Чебышева
• теоремы Муавра-Лапласа

Хи-квадрат распределение с n степенями свободы — это функция распределения случайной величины , где — независимые случайные величины, подчиненные одному и тому же закону

• Показательному с параметром
• Нормальному с параметрами и
• Пуассона с параметром
• Эрланга

Частота события сходится по вероятности к его вероятности при увеличении числа опытов

• если выполнены условия теоремы Чебышева
• если вероятность стремится к нулю
• всегда
• если событие рассматривается в схеме Бернулли

Пусть случайные величины и таковы, что , — характеристическая функция , тогда характеристическая функция равна

Случайный процесс с непрерывным временем — это семейство случайных величин , где

• изменяется на некотором интервале (конечном или бесконечном)
• изменяется от до
• каждая случайная величина — непрерывна
• каждая случайная величина — непрерывна на некотором отрезке

Если случайные величины и независимы, то дисперсия их суммы равна

• 0

Переходные вероятности марковского процесса — это вероятности перехода процесса из одного состояния в любое другое так, что равна

Уравнения Колмогорова позволяют найти

• вероятности состояний в марковском процессе
• размеченный граф состояний системы
• переходную матрицу
• предельные вероятности состояний

Плотность вероятности перехода определяется для

• марковского процесса с дискретным временем и с дискретными состояниями
• пуассоновского процесса
• марковского процесса с непрерывным временем и с дискретными состояниями
• любого случайного процесса