Ряды. Ряды Фурье

Для разложения функции f(x) в степенной ряд используются приемы :

• интегрирование степенных рядов
• сравнение с соответствующим числовым рядом
• дифференцирование степенных рядов
• умножение ряда на число

Вид ряда Фурье периодической функции f(x) зависит:

• от монотонности f(x)
• от интервала периодичности f(x)
• от ее четности или нечетности f(x)
• от дифференцируемости f(x)

Исследуйте по признаку сравнения сходимость ряда и сделайте вывод

• сходится
• расходится
• сходится абсолютно
• сходится условно

Заполните пробел в формулировке утверждения: Степенной ряд в интервале сходимости можно __________ (как?) интегрировать

Исследуйте по интегральному признаку сходимость ряда и сделайте вывод

• сходится абсолютно
• расходится
• сходится
• сходится условно

Ряд Маклорена является частным случаем ряда

• биномиального
• степенного
• Тейлора
• Фурье

Ряд Фурье функции f(x)= 2х (-1 0 = -1 сходится к значению

• 1
• 0
• –1
• расходится в точке х0 = -1

Если функция кусочно-дифференцируема в интервале (-π,π), то ее ряд Фурье сходится к f(x) во всех точках, где она ____________ (завершите теорему Дини-Липщица)

Свободный член а0 ряда Фурье функции f(x)= -5х (-1

01
–5
2

• 0
• 1
• –5
• 2

Общий член ряда имеет вид

Коэффициент a3 разложения функции f(x)=3x+1 при в ряд Фурье равен ____________ (указать число)

Радиус сходимости степенного ряда 1 + х + х2 + … + хn + … равен __________ (укажите число)

Свободный член а0 ряда Фурье функции f(x)=–3x(–), T=2, равен

• –3
• 3
• 1
• 0

Пусть функция f(x) четная и 2p-периодическая , тогда ее n-е коэффициенты Фурье вычисляются по формулам

• = 0 (n = 1, 2, ..)
• = 2p (n = 1, 2, ..)
• = 2p (n = 1, 2, ..)
• =

Ряд Фурье функции f(x)= х2 (-10 = сходится к значению

• расходится в точке х0 =
• 1

Если общий член ряда содержит ______________ (какую?) функцию, то обычно применяют признак Даламбера

Укажите системы, которые ортонормированны на промежутке [0,π]:

• , (k=1,2…)
• , (k=1,2…)
• , (k=1,2…)
• , (k=1,2…)

Ряд Фурье функции f(x) = 2х (-1 0 = 0 сходится к значению

• 2
• 0
• расходится в точке х0 = 0
• 1

Для ряда общий член

Пусть . Рассмотрим ряд . Укажите верные утверждения

• сходится при q1 и расходится при q≥1
• сходится при q1
• сходится при q1 и расходится при q>1
• расходится при q1

Рассматривается система ненулевых функций (n=0,1,2…). Равенство определяет ___________ функций

Если функция кусочно-дифференцируема в интервале (-π,π), то ее ряд ____________ сходится к f(x) во всех точках, где она непрерывна

• Лейбница
• Фурье
• Маклорена
• Тейлора

Ряд Фурье функции f(x)= 2х (-1 0 = -1 сходится к значению

• расходится в точке х0 = -1
• 1
• 0
• –1

Если периодическая функция f(x) разлагается в ряд Фурье, то на всей числовой оси он сходится: к

• к полусумме значений в концах интервала периодичности
• к полусумме односторонних пределов в точках разрыва
• к сумме односторонних пределов в точках разрыва
• к значению функции в точках непрерывности

Укажите соответствие между функцией и ее рядом Маклорена

• функция у =
• функция у =
• функция у =

Ряд

• сходится условно
• сходится абсолютно
• ничего определенного сказать нельзя
• расходится

Первый отличный от нуля член разложения в ряд Тейлора некоторой функции f(x) в окрестности точки равен . Этой функцией и точкой могут быть

• f(x)=cos 2x , a= π / 2
• f(x)=cos x , a= π / 4
• f(x)=cos x , a= -π / 2
• , a= π / 4

Ряд Маклорена для функции можно получить

• складывая почленно, а затем логарифмируя ряды функций f(x)=1+x и
• почленным умножением рядов функций f(x)=ln(1+x) и f(x)=ln(1+2x)
• складывая почленно ряды функций f(x)=ln(1+x) и f(x)=ln(1+2x)
• логарифмируя ряд функции

Разложение в ряд Маклорена функции у = cos x и область сходимости полученного ряда следующие:

• 1 – (2х) + (2х)2 – (2х)3 + … + (-1)n (2х)n (-¥
• (-¥
• (-¥
• (-¥
• Седьмой член ряда равен
• Если функция f(x) четная, то ее ряд Фурье содержит
• только синусы
• косинусы
• свободный член
• свободные члена и синусы
• Пусть . Укажите условие, при котором ряд сходится
• d1
• d
• d=1
• d
• Ряд Фурье функции f(x) = х2 (-), Т = 2 в точках и сходится к
• 0
• одному и тому же значению
• сумме и
• Геометрический ряд а + aq + aq2 + … сходится, если его знаменатель q
• удовлетворяет неравенству |q| >1
• удовлетворяет неравенству q >1
• равен ±1
• удовлетворяет неравенству |q|
• Первый отличный от нуля член разложения в ряд Маклорена функции равен
• 2x
• x
• 1
• Ряд
• сходится по признаку Даламбера
• расходится, так как отсутствует необходимый признак сходимости
• расходится по признаку Даламбера
• сходится по необходимому признаку сходимости
• Общий член ряда 1- равен
• Известно, что ряд с монотонно убывающими членами сходится, то равен ___________ (укажите числовое значение)
• Коэффициент при х3 ряда Тейлора в окрестности точки х0 = 1 для функции f(x) равен
• 1
• Ряд расходится, т.к.
• выполняются условия признака Даламбера
• предел общего члена не равен нулю
• выполняются условия признака сравнения
• не выполняется необходимый признак сходимости
• Ряды и
• оба сходятся
• оба расходятся
• первый – сходится, второй – расходится
• первый – расходится, второй – сходится
• Ряд сходится в промежутке:
• –
• x=0
• –1×1
• |x|1
• Если члены равномерно сходящегося в области сходимости Dфункционального ряда непрерывны, то (укажите верные утверждения):
• ряд можно интегрировать почленно
• сумма ряда из производных функций исходного ряда равна производной от суммы исходного ряда
• ряд можно дифференцировать
• сумма ряда также непрерывна на D
• Ряд сходится ___________ (как? Вставить слово)
• Первый отличный от нуля член разложения в ряд Маклорена функции равен
• x
• 1
• 2x
• Ряд Фурье функции f(x) = |sin х| (-p и сходится к
• нулю
• π
• одному и тому же значению
• сумме и
• Среднее квадратичное отклонение функции f(x) и φ(x) на отрезке [a,b] – это величина
• Первый отличный от нуля член разложения в ряд Тейлора функции f(x)=cos x в окрестности точки a= π / 4 равен
• 1
• -1
• Для разложения функции f(x) в степенной ряд используются приемы:
• используется замена функции f(x) соответствующим функциональным рядом
• используется умножение ряда на функцию
• используются табличные разложения
• функция f(x) непосредственно разлагается в ряд
• Функция не удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [0,1] т.к. она
• не определена в точке x=0
• не является монотонной
• имеет в точке x=0 разрыв второго рода
• является нечетной

Седьмой член ряда равен

Если функция f(x) четная, то ее ряд Фурье содержит

• только синусы
• косинусы
• свободный член
• свободные члена и синусы

Пусть . Укажите условие, при котором ряд сходится

• d1
• d
• d=1
• d
• 0
• одному и тому же значению
• сумме и
• удовлетворяет неравенству |q| >1
• удовлетворяет неравенству q >1
• равен ±1
• удовлетворяет неравенству |q|
• 2x
• x
• 1
• сходится по признаку Даламбера
• расходится, так как отсутствует необходимый признак сходимости
• расходится по признаку Даламбера
• сходится по необходимому признаку сходимости
• 1
• выполняются условия признака Даламбера
• предел общего члена не равен нулю
• выполняются условия признака сравнения
• не выполняется необходимый признак сходимости
• оба сходятся
• оба расходятся
• первый – сходится, второй – расходится
• первый – расходится, второй – сходится
• –
• x=0
• –1×1
• |x|1
• ряд можно интегрировать почленно
• сумма ряда из производных функций исходного ряда равна производной от суммы исходного ряда
• ряд можно дифференцировать
• сумма ряда также непрерывна на D
• x
• 1
• 2x
• нулю
• π
• одному и тому же значению
• сумме и
• 1
• -1
• используется замена функции f(x) соответствующим функциональным рядом
• используется умножение ряда на функцию
• используются табличные разложения
• функция f(x) непосредственно разлагается в ряд
• не определена в точке x=0
• не является монотонной
• имеет в точке x=0 разрыв второго рода
• является нечетной

Ряд Фурье функции f(x) = х2 (-), Т = 2 в точках и сходится к

• 0
• одному и тому же значению
• сумме и

Геометрический ряд а + aq + aq2 + … сходится, если его знаменатель q

• удовлетворяет неравенству |q| >1
• удовлетворяет неравенству q >1
• равен ±1
• удовлетворяет неравенству |q|

Первый отличный от нуля член разложения в ряд Маклорена функции равен

• 2x
• x
• 1

Ряд

• сходится по признаку Даламбера
• расходится, так как отсутствует необходимый признак сходимости
• расходится по признаку Даламбера
• сходится по необходимому признаку сходимости

Общий член ряда 1- равен

Известно, что ряд с монотонно убывающими членами сходится, то равен ___________ (укажите числовое значение)

Коэффициент при х3 ряда Тейлора в окрестности точки х0 = 1 для функции f(x) равен

• 1

Ряд расходится, т.к.

• выполняются условия признака Даламбера
• предел общего члена не равен нулю
• выполняются условия признака сравнения
• не выполняется необходимый признак сходимости

Ряды и

• оба сходятся
• оба расходятся
• первый – сходится, второй – расходится
• первый – расходится, второй – сходится

Ряд сходится в промежутке:

• –
• x=0
• –1×1
• |x|1

Если члены равномерно сходящегося в области сходимости Dфункционального ряда непрерывны, то (укажите верные утверждения):

• ряд можно интегрировать почленно
• сумма ряда из производных функций исходного ряда равна производной от суммы исходного ряда
• ряд можно дифференцировать
• сумма ряда также непрерывна на D

Ряд сходится ___________ (как? Вставить слово)

Первый отличный от нуля член разложения в ряд Маклорена функции равен

• x
• 1
• 2x

Ряд Фурье функции f(x) = |sin х| (-p и сходится к

• нулю
• π
• одному и тому же значению
• сумме и

Среднее квадратичное отклонение функции f(x) и φ(x) на отрезке [a,b] – это величина

Первый отличный от нуля член разложения в ряд Тейлора функции f(x)=cos x в окрестности точки a= π / 4 равен

• 1
• -1

Для разложения функции f(x) в степенной ряд используются приемы:

• используется замена функции f(x) соответствующим функциональным рядом
• используется умножение ряда на функцию
• используются табличные разложения
• функция f(x) непосредственно разлагается в ряд

Функция не удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [0,1] т.к. она

• не определена в точке x=0
• не является монотонной
• имеет в точке x=0 разрыв второго рода
• является нечетной