Теория вероятностей и математическая статистика (курс 3). Случайные векторы и случайные процессы. Часть 1

Дискретные случайные величины и называются независимыми, если для любых выполнено равенство

Случайный вектор — это

• неупорядоченный набор случайных величин , заданных на пространствах элементарных исходов
• упорядоченный набор случайных величин , заданных на пространствах элементарных исходов
• упорядоченный набор случайных величин , заданных на одном и том же пространстве элементарных исходов
• неупорядоченный набор случайных величин , заданных на одном и том же пространстве элементарных исходов

Пусть , . Тогда равно

• 1

Значение равно

Если , то равно

Задан закон распределения дискретного случайного вектора: Вероятность того, что , равна

• 1
• 0,4
• 0,6
• 0,3

Если , то

Вектор начальных вероятностей — это вектор

• , где ,
• , где ,
• , где ,
• , где ,

Матрица для цепи Маркова — это матрица , в которой элемент равен вероятности перехода из состояния

• в состояние за шагов
• в состояние за шагов
• в состояние за шагов
• в состояние за шагов

Математическое ожидание случайного процесса равно

Значение равно

• 1
• 0

Случайные величины и независимы и имеют следующие распределения: Распределение случайного вектора имеет вид

Плотность распределения случайного вектора равна

Значение равно

Формулы, выражающие одномерные распределения абсолютно непрерывного случайного вектора, имеют вид

• ;
• ;
• ;
• ;

Пусть , где случайная величина имеет следующее распределение: Тогда имеет следующее распределение

Значение равно

Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если

• ; для любых
• ; для любых
• ; для любых
• ; для любых

Для любых случайных величин и имеет место неравенство

Закон распределения дискретного случайного вектора — это правило, определяющее возможные значения

• случайного вектора
• случайного вектора и вероятности этих значений
• случайных величин и и вероятности этих значений
• случайных величин и

Пусть , , . Семейство реализаций случайного процесса изображено на рисунке

Пусть , , . Тогда равно

• 2
• 1
• 0,5
• 0

По определению условной вероятности

Значение равно

• 0
• -1
• 1

Если , то

Задан закон распределения дискретного случайного вектора: Вероятность того, что , равна

• 0,1
• 1
• 0,4
• 0,5

Для эргодической цепи Маркова существуют пределы, не зависящие от начального распределения

• ,
• ,
• ,
• ,

Не может быть матрицей вероятностей перехода цепи Маркова матрица

Конечномерное распределение можно задать при помощи функции распределения, которая равна

Формула полной вероятности для условной вероятности имеет вид

Случайные величины и независимы и одинаково распределены; каждая из них принимает значения 0 и 1 с одинаковыми вероятностями. Распределение случайного вектора имеет вид

Формула, выражающая -мерный закон распределения дискретного случайного вектора через его -мерный закон распределения, имеет вид

Матрица вероятностей перехода цепи Маркова имеет вид Если , то равно

• (0,74; 0,26)
• (0,25; 0,75)
• (0,75; 0,25)
• (0,34; 0,66)

Пусть , , . Тогда равно

• 4
• 1
• 0
• 2

Корреляционная функция стационарного случайного процесса всегда является функцией

• нечетной
• положительной
• четной
• неотрицательной

Значение равно

• 1
• 0

Плотность распределения случайного вектора удовлетворяет неравенству

Пусть , . Тогда равно

• 0

Абсолютно непрерывные случайные величины и называются независимыми, если

Случайный процесс называется стационарным в узком смысле, если распределение вектора совпадает с распределением

• вектора при любых
• вектора при любых
• вектора при любых
• вектора при любых

Корреляционная функция случайного процесса равна

Может быть матрицей вероятностей перехода цепи Маркова матрица

Пусть , , . Тогда равна

• 1
• 2
• 0
• 3

Распределение вероятностей состояний для -го шага — это вектор

• , где ,
• , где ,
• , где ,
• , где ,

Матрица вероятностей перехода цепи Маркова — это квадратная матрица , в которой элемент равен вероятности перехода из состояния

• в состояние за шагов
• в состояние за шагов
• в состояние за один шаг
• в состояние за один шаг

Корреляционную функцию случайного процесса можно вычислять по формуле

Матрица вероятностей перехода цепи Маркова имеет вид Если , то равно

• (0,3; 0,4; 0,2)
• (0,2; 0,2; 0,6)
• (0,4; 0,1; 0,5)
• (0,3; 0,4; 0,3)

Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству

Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник равна

Пусть задано распределение дискретного случайного вектора , где случайная величина принимает значения , а случайная величина принимает значения . Вероятность того, что , равна