Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы

Случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами, указанными в левом столбце таблицы. Укажите соответствующие ей числовые характеристики из правого столбца:

• n=10 и p=1/2
• MX=5; DX=4
• n=20 и p=1/5
• MX=1; DX=3/4
• n=4 и p=1/4
• MX=4; DX=16/5
• n=25 и p=1/5
• MX=5; DX=5/2

Правильным является следующее соотношение:

• D(–2X) = 2D(X)
• D(–2X) = –2D(X)
• D(–2X) = 4D(X)
• D(–2X) = –4D(X)

Монету бросали 100 раз. 62 раза выпал орел; для проверки гипотезы о симметричности монеты строим 95%-ый доверительный интервал для р и проверяем, попали ли мы в него. Определите, по какой формуле строится доверительный интервал и что даст проверка в нашем конкретном случае

• , симметричная
• , не симметричная
• , не симметричная
• , симметричная

Дисперсия случайного процесса с непрерывным временем X(t) есть

• непрерывная функция
• случайная величина
• неотрицательная числовая функция
• постоянная функция

Если случайная величина  линейно зависит от случайной величины  (), тогда коэффициент корреляции  равен

• 1
• 2
• –1
• 0

Укажите функции распределения какой случайной величины соответствуют данные свойства

• функция распределения непрерывной случайной величины
• разрывная, ступенчатая
• функция распределения случайной величины
• не убывает
• функция распределения дискретной случайной величины
• непрерывна

Если случайные величины  и  независимы и их характеристические функции  и , тогда характеристическая функция их суммы  равна

Эмпирический коэффициент корреляции между весом и ростом для выборки: равен

• 0
• -1
• 1
• 0,9

При проверке гипотезы об однородности двух выборок по критерию Колмогорова-Смирнова максимальная разница между эмпирическими распределениями оказалась равной 0,1. Число испытаний равно для обеих совокупностей n. Укажите значения n и вывод на уровне 0,05 о правильности гипотезы, не противоречащие друг другу:

• n=100, гипотеза не прoходит
• n=500, гипотеза прoходит
• n=200, гипотеза прoходит
• n=200, гипотеза не проходит

Плотность вероятности перехода  определяется для

• марковского процесса с непрерывным временем и с дискретными состояниями
• пуассоновского процесса
• марковского процесса с дискретным временем и с дискретными состояниями
• любого случайного процесса

Собрание из 4 томов расставлено на книжной полке случайным образом. Вероятность того, что тома расположатся в порядке 1, 2, 3, 4 или 4, 3, 2, 1, равна

• 1/24
• 1/12
• 0,05
• 0,01

Соотнесите вероятность описываемого события и его значение:

• вероятность невозможного события равна
• 1
• вероятность события может быть равна
• любому числу из отрезка [0,1]
• вероятность достоверного события равна
• 0

Для вероятности р по выборке объема n при помощи величены  и таблиц нормального распределения строится доверительный интервал. Если увеличить объем выборки в 100 раз, длина доверительного интервала примерно уменьшится в _________ раз ( укажите во сколько раз)

Распределение вероятностей, которое имеет случайная величина , где  и  — независимые случайные величины, распределенные по с n1 и n2 степенями свободы, называется

• распределением Фишера-Снедекора, оно определяется двумя параметрами – n1/n2 и n1 + n2
• распределением Стьюдента, оно определяется двумя параметрами – n1 и n2
• распределением Фишера-Снедекора, оно определяется двумя параметрами – k1 = n1-1 и k2 = n2-1
• распределением Фишера-Снедекора, оно определяется двумя параметрами – n1 и n2

По выборке построен доверительный интервал для генерального среднего. Оказалась, что генеральное среднее по такому объему выборки определяется с точностью 0,2. Чтобы повысить точность вдвое, объем выборки надо _____________ раз(а)

• увеличить в 4
• увеличить в 8
• уменьшить в 2
• увеличить в 2

По выборке объема n из нормального распределения с известной дисперсией s2 строится доверительный интервал для математического ожидания. Объем выборки увеличиваем в 25 раз. В предположении, что величины  и S2 при этом изменятся мало, длина доверительного интервала ____________ раз(а)

• увеличится в 5
• увеличится в 25
• уменьшится в 5
• уменьшится в 25

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной равномерно на отрезке [1,3], равны

• 1,5; 1/3
• 1,5; 1/6
• 2; 1/3
• 2; 1/6

Случайная величина Х имеет нормальное распределение N(3, 3). Укажите (с точностью до 0,0001) соответствия

• Р(0
• 0,9973
• Р(–3
• 0,9544
• Р(–6
• 0,6826
• Для _________________ случайных величин математическое ожидание равно нулю.
• центрированной
• нормированной
• такова, что ее дисперсия близка к нулю.
• Для независимых случайных величин  и
• =
• дисперсии их суммы и разности равны
• =
• При проверке гипотезы о том, что генеральное распределение – равномерное на отрезке [0,1], по выборке объема 100 построили такую таблицу частот: Можно ли утверждать, что гипотеза о виде распределения по критерию χ2 проходит? Чему равно значение статистики, по которой оценивается мера расхождения?
• не проходит, 1
• не проходит, 0
• проходит, 1
• проходит, 0
• Для математического ожидания произведения случайной величины Х и постоянной С справедливо свойство:
• М(СХ) = C2МХ
• М(СХ) = |C| МХ
• М(СХ) =
• М(СХ) = С·МХ
• Если выборка группируется для проверки гипотезы о виде распределения по критерию χ2 и если в какие-то интервалы группировки попало слишком мало наблюдений, необходимо
• увеличить длину всех интервалов группировки
• добавить в такие интервалы фиктивные наблюдения
• уменьшить величину интервалов группировки
• объединить такие интервалы с соседними
• При проверке при помощи критерия χ2 гипотезы о равномерном распределении R(a,b), когда концы интервала a и b неизвестны, а число интервалов группировки равно m, статистика χ2 имеет распределение χ2 с числом степеней свободы m-___ (укажите целое число)
• Для построения доверительного интервала для оценки вероятности биномиального распределения по относительной частоте надо пользоваться таблицами _______ распределения
• Соотношение  при для зависимых случайных величин
• несправедливо
• справедливо, если
• справедливо, если
• справедливо всегда
• Симметричную монету бросают 2 раза. Если выпадает 0 гербов, то игрок платит 20 рублей. Если выпадает 1 герб, 1 решётка, то игрок получает 5 рублей. Если выпадает 2 герба, то игрок получает 10 рублей. Математическое ожидание выигрыша равно
• 0,75
• – 1
• 0
• + 2
• Случайная величина (Х,Y) распределена по двумерному нормальному закону, параметры которого равны: ax=1; ay=2; r=0,5; sx=1; sy=2. Уравнение регрессии Y на Х имеет вид
• y-2=2(x-1)
• y-2=0,5(x-1)
• y=x+1
• y=x-1
• Распределение _____________ имеет статистика, при помощи которой по эмпирическому значению коэффициента корреляции r и числу испытаний n проверяется значимость коэффициента корреляции
• χ2
• Стьюдента
• Фишера-Снедекора
• нормальное
• Идёт охота на волка. Вероятность выхода волка на 1-го охотника – 0,7; вероятность выхода волка на 2-го охотника – 0,3. Вероятность убийства волка 1-ым охотником, если волк вышел на него, – 0,8; вероятность убийства волка 2-ым охотником, если волк вышел на него, – 0,5. Вероятность убийства волка равна
• 0,71
• 0,5
• 0,56
• 0,05
• Дано статистическое распределение выборки с числом вариантов m: Выборочное среднее находится по следующей формуле:
• xi — независимые, нормально распределённые, стандартные N(0,1) случайные величины. Распределение вероятностей, которое имеет случайная величина, называется
• N(0,1)
• распределением Стьюдента
• распределением хи-квадрат с n степенями свободы (χ2n)
• распределением Фишера-Снедекора
• Критическое значение распределения Колмогорова для уровня значимости a=0,05 равно
• t=1,73
• t=1,36
• t=1,22
• t=1,48
• Вероятность выиграть, играя в рулетку, 1/37. Сделав ставку 100 раз, мы ни разу не выиграли. Заподозрив, что игра ведется нечестно, мы решили проверить свою гипотезу, построив 95%-ый доверительный интервал. Определите, по какой формуле строится интервал и что дала проверка в нашем случае
• , игра нечестная
• , игра честная
• , игра нечестная
• , игра честная
• Если независимые случайные величины  и  имеют дисперсии  и , то  равно
• 6
• 2,5
• 1
• 5
• При проверке гипотезы о виде распределения по критерию Колмогорова максимальная разница между теоретическим распределением и эмпирическим оказалась равной 0,1. Число испытаний равно n. Укажите значения n и вывод на уровне 0,05 о правильности гипотезы, не противоречащие друг другу:
• n=250, гипотеза прoходит
• n=50, гипотеза не прoходит
• n=100, гипотеза прoходит
• n=100, гипотеза не проходит
• Под дискретным случайным вектором понимают
• случайный вектор с дискретной первой компонентой
• набор случайных чисел
• случайный вектор с хотя бы одной дискретной компонентой
• случайный вектор, компоненты которого дискретные случайные величины
• Дисперсия суммы двух случайных величин  равна
• Случайная последовательность – это случайный процесс
• со временем на конечном отрезке
• с дискретным временем
• с независимыми значениями
• с непрерывным временем
• Под случайным процессом с непрерывным временем понимается семейство случайных величин , где
• каждая случайная величина  – непрерывна на некотором отрезке
•  изменяется от  до
• каждая случайная величина  – непрерывна
•  изменяется на некотором интервале (конечном или бесконечном)
• Дальтониками являются 20% всех мужчин и 5% всех женщин. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Вероятность того, что выбранный наугад дальтоник- мужчина, равна (число мужчин и женщин считается одинаковым)
• 0,5
• 0,45
• 0,65
• 0,8
• Формула для определения ковариационной функции случайного процесса X(t) имеет вид
• B(t, s) = cov[X(t – s), X(t + s)]
• B(t, s) = cov[X(t), X(s)]
• B(t, s) = cov[X(t), X(t + s)]
• B(t, s) = cov[X(t), X(t)2]
• Для математического ожидания суммы случайной величины Х и постоянной С имеет место
• M (X + C) = MX
• M (X + C) = MX – C
• M (X + C) = MX + C
• M (X + C) = C
• Неравенство Чебышева имеет вид
• Дисперсия числа событий простейшего потока с параметром λ, наступивших за единицу времени, равна
• λ2
• λ
• Cлучайная величина Х задана рядом распределения: Математическое ожидание и дисперсия равны
• 0,35; 2
• 1; 1,4
• 0,35; 1
• 1; 2,4
• В качестве теоретических частот при проверке гипотезы об однородности m выборок при m>2 используются
• эмпирические частоты, полученные при объединении всех выборок
• известные значения генерального распределения
• любые значения, сумма которых равна единице
• эмпирические частоты любой из выборок
• Коэффициент корреляции для случайных величин  и , связанных зависимостью , равен
• 5
• 1
• 0
• –1
• Cлучайная величина Х задана рядом распределения: Математическое ожидание и дисперсия равны
• 0,35; 2
• 0,35; 1
• 0,9; 2,89
• 0,9; 1,89
• Для случайный процесс с непрерывным временем X(t) его математическое ожидание есть
• векторная функция
• числовая функция
• случайная величина
• случайная функция

Для _________________ случайных величин математическое ожидание равно нулю.

• центрированной
• нормированной
• такова, что ее дисперсия близка к нулю.

Для независимых случайных величин  и

• =
• дисперсии их суммы и разности равны
• =

При проверке гипотезы о том, что генеральное распределение – равномерное на отрезке [0,1], по выборке объема 100 построили такую таблицу частот: Можно ли утверждать, что гипотеза о виде распределения по критерию χ2 проходит? Чему равно значение статистики, по которой оценивается мера расхождения?

• не проходит, 1
• не проходит, 0
• проходит, 1
• проходит, 0

Для математического ожидания произведения случайной величины Х и постоянной С справедливо свойство:

• М(СХ) = C2МХ
• М(СХ) = |C| МХ
• М(СХ) =
• М(СХ) = С·МХ

Если выборка группируется для проверки гипотезы о виде распределения по критерию χ2 и если в какие-то интервалы группировки попало слишком мало наблюдений, необходимо

• увеличить длину всех интервалов группировки
• добавить в такие интервалы фиктивные наблюдения
• уменьшить величину интервалов группировки
• объединить такие интервалы с соседними

При проверке при помощи критерия χ2 гипотезы о равномерном распределении R(a,b), когда концы интервала a и b неизвестны, а число интервалов группировки равно m, статистика χ2 имеет распределение χ2 с числом степеней свободы m-___ (укажите целое число)

Для построения доверительного интервала для оценки вероятности биномиального распределения по относительной частоте надо пользоваться таблицами _______ распределения

Соотношение  при для зависимых случайных величин

• несправедливо
• справедливо, если
• справедливо, если
• справедливо всегда

Симметричную монету бросают 2 раза. Если выпадает 0 гербов, то игрок платит 20 рублей. Если выпадает 1 герб, 1 решётка, то игрок получает 5 рублей. Если выпадает 2 герба, то игрок получает 10 рублей. Математическое ожидание выигрыша равно

• 0,75
• – 1
• 0
• + 2

Случайная величина (Х,Y) распределена по двумерному нормальному закону, параметры которого равны: ax=1; ay=2; r=0,5; sx=1; sy=2. Уравнение регрессии Y на Х имеет вид

• y-2=2(x-1)
• y-2=0,5(x-1)
• y=x+1
• y=x-1

Распределение _____________ имеет статистика, при помощи которой по эмпирическому значению коэффициента корреляции r и числу испытаний n проверяется значимость коэффициента корреляции

• χ2
• Стьюдента
• Фишера-Снедекора
• нормальное

Идёт охота на волка. Вероятность выхода волка на 1-го охотника – 0,7; вероятность выхода волка на 2-го охотника – 0,3. Вероятность убийства волка 1-ым охотником, если волк вышел на него, – 0,8; вероятность убийства волка 2-ым охотником, если волк вышел на него, – 0,5. Вероятность убийства волка равна

• 0,71
• 0,5
• 0,56
• 0,05

Дано статистическое распределение выборки с числом вариантов m: Выборочное среднее находится по следующей формуле:

xi — независимые, нормально распределённые, стандартные N(0,1) случайные величины. Распределение вероятностей, которое имеет случайная величина, называется

• N(0,1)
• распределением Стьюдента
• распределением хи-квадрат с n степенями свободы (χ2n)
• распределением Фишера-Снедекора

Критическое значение распределения Колмогорова для уровня значимости a=0,05 равно

• t=1,73
• t=1,36
• t=1,22
• t=1,48

Вероятность выиграть, играя в рулетку, 1/37. Сделав ставку 100 раз, мы ни разу не выиграли. Заподозрив, что игра ведется нечестно, мы решили проверить свою гипотезу, построив 95%-ый доверительный интервал. Определите, по какой формуле строится интервал и что дала проверка в нашем случае

• , игра нечестная
• , игра честная
• , игра нечестная
• , игра честная

Если независимые случайные величины  и  имеют дисперсии  и , то  равно

• 6
• 2,5
• 1
• 5

При проверке гипотезы о виде распределения по критерию Колмогорова максимальная разница между теоретическим распределением и эмпирическим оказалась равной 0,1. Число испытаний равно n. Укажите значения n и вывод на уровне 0,05 о правильности гипотезы, не противоречащие друг другу:

• n=250, гипотеза прoходит
• n=50, гипотеза не прoходит
• n=100, гипотеза прoходит
• n=100, гипотеза не проходит

Под дискретным случайным вектором понимают

• случайный вектор с дискретной первой компонентой
• набор случайных чисел
• случайный вектор с хотя бы одной дискретной компонентой
• случайный вектор, компоненты которого дискретные случайные величины

Дисперсия суммы двух случайных величин  равна

Случайная последовательность – это случайный процесс

• со временем на конечном отрезке
• с дискретным временем
• с независимыми значениями
• с непрерывным временем

Под случайным процессом с непрерывным временем понимается семейство случайных величин , где

• каждая случайная величина  – непрерывна на некотором отрезке
•  изменяется от  до
• каждая случайная величина  – непрерывна
•  изменяется на некотором интервале (конечном или бесконечном)

Дальтониками являются 20% всех мужчин и 5% всех женщин. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Вероятность того, что выбранный наугад дальтоник- мужчина, равна (число мужчин и женщин считается одинаковым)

• 0,5
• 0,45
• 0,65
• 0,8

Формула для определения ковариационной функции случайного процесса X(t) имеет вид

• B(t, s) = cov[X(t – s), X(t + s)]
• B(t, s) = cov[X(t), X(s)]
• B(t, s) = cov[X(t), X(t + s)]
• B(t, s) = cov[X(t), X(t)2]

Для математического ожидания суммы случайной величины Х и постоянной С имеет место

• M (X + C) = MX
• M (X + C) = MX – C
• M (X + C) = MX + C
• M (X + C) = C

Неравенство Чебышева имеет вид

Дисперсия числа событий простейшего потока с параметром λ, наступивших за единицу времени, равна

• λ2
• λ

Cлучайная величина Х задана рядом распределения: Математическое ожидание и дисперсия равны

• 0,35; 2
• 1; 1,4
• 0,35; 1
• 1; 2,4

В качестве теоретических частот при проверке гипотезы об однородности m выборок при m>2 используются

• эмпирические частоты, полученные при объединении всех выборок
• известные значения генерального распределения
• любые значения, сумма которых равна единице
• эмпирические частоты любой из выборок

Коэффициент корреляции для случайных величин  и , связанных зависимостью , равен

• 5
• 1
• 0
• –1

Cлучайная величина Х задана рядом распределения: Математическое ожидание и дисперсия равны

• 0,35; 2
• 0,35; 1
• 0,9; 2,89
• 0,9; 1,89

Для случайный процесс с непрерывным временем X(t) его математическое ожидание есть

• векторная функция
• числовая функция
• случайная величина
• случайная функция