Уравнения математической физики (курс 2). Часть 1

Укажите, какие утверждения верны: А) Метод преобразования Фурье — метод решения дифференциальных уравнений, который позволяет уменьшить число независимых переменных (по которым проводится дифференцирование), преобразуя некоторые переменные в параметры (по которым уже нет дифференцирования) B) Дельта-функцию можно рассматривать как предел функциональных последовательностей, ее свойства непротиворечивы и согласованы со свойствами обычных функций комплексного переменного

• А – нет, B – да
• А – да, B – да
• А – нет, B – нет
• А – да, B – нет

Интегральное преобразование двух функций и , задаваемое формулой – это

• фундаментальное решение уравнения теплопроводности
• обратное преобразование Фурье
• формула Пуассона решения задачи Коши для уравнения теплопроводности
• свертка функций

Косинус-преобразование Фурье функции f(x) записывается в виде: Fc(a) = f(x)cosax dx. Найти косинус-преобразование Фурье функции

• ×2[ + ]
• ×[ + ]
• ×3[ + ]
• ×4[ + ]

Укажите, какие утверждения верны: А) Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл B) Интегральным преобразованием называют преобразование, которое каждой функции ставит в соответствие новую функцию по формуле

• А – да, B – нет
• А – да, B – да
• А – нет, B – нет
• А – нет, B – да

Интегралом Фурье по косинусам функции f(x) называется выражение вида

• f(x)=
• f(x)=
• f(x)=
• cos x=

Укажите, какие утверждения верны: А) Абсолютно сходящийся несобственный интеграл — несобственный интеграл в том случае, если сходится интеграл B) Кривая Гаусса — график фундаментального решения уравнения теплопроводности при фиксированных значениях и

• А – нет, B – нет
• А – да, B – да
• А – да, B – нет
• А – нет, B – да

Уравнение теплопроводности после преобразования Фурье имеет вид

• s2u — uxx = 0
• ut + s2u = 0
• ut — s2u = 0
• s2u + uxx = 0

Коэффициент В(l) в задаче Коши для уравнения теплопроводности Ut = Uxx, U(x,0) = j(x) вычисляется по формуле В(l) = j(x)sinxdx Тогда коэффициент B(l) при U(x,0) = j(x) = cosx равен

• 0
• 1
• -1
• 3

Укажите, какие утверждения верны: А) Метод интегральных преобразований — метод решения дифференциальных уравнений, который позволяет от одного уравнения перейти к нескольким уравнениям, но с меньшим числом независимых переменных B) Метод разделения переменных — метод решения дифференциальных уравнений, который позволяет уменьшить число независимых переменных (по которым проводится дифференцирование), преобразуя некоторые переменные в параметры (по которым уже нет дифференцирования)

• А – нет, B – да
• А – да, B – да
• А – нет, B – нет
• А – да, B – нет

Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности Ut = Uxx с начальным условием U(x,0) = j(x)= имеет вид

• U(x,t) =
• U(x,t) =
• U(x,t) =50
• U(x,t) =

Укажите, какие утверждения верны: А) Интегральным преобразованием называют преобразование, которое каждой функции ставит в соответствие новую функцию по формуле B) Обратное преобразование Фурье определяется формулой

• А – да, B – нет
• А – да, B – да
• А – нет, B – да
• А – нет, B – нет

Коэффициент В(l) в задаче Коши для уравнения теплопроводности Ut = Uxx, U(x,0) = j(x) вычисляется по формуле В(l) = j(x)sinxdx. Тогда коэффициент B(l) при U(x,0) = j(x) = cosx равен

• -1
• 1
• 0
• 3

Укажите, какие утверждения верны: А) Функция преобразования Лапласа – это Функция B) Метод разделения переменных применим не только к задачам, рассматриваемым в ограниченных областях, но также в неограниченных областях или во всем пространстве (в частности, на прямой)

• А – нет, B – да
• А – нет, B – нет
• А – да, B – нет
• А – да, B – да

Интегралом Фурье функции sin x называется выражение вида:

• sin x=
• sin x=
• sin x=
• sin x=

Несобственный интеграл в том случае, если сходится интеграл – это

• Расходящийся несобственный интеграл
• Абсолютно сходящийся несобственный интеграл
• Абсолютно расходящийся несобственный интеграл
• Сходящийся несобственный интеграл

Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности Ut = 4Uxx с начальным условием U(x,0) = j(x)= имеет вид

• U(x,t) = 50
• U(x,t) = 4
• U(x,t) =
• U(x,t) =2′

Представление функции в виде – это

• Фурье-изображение
• Функция Лапласа
• Интеграл Фурье функции
• Функция Хэвисайда

Косинус-преобразование Фурье функции f(x) записывается в виде: Fc(a) = f(x)cosax dx. Найти косинус-преобразование Фурье функции

Косинус-преобразование Фурье функции f(x) записывается в виде: dx. Найти косинус-преобразование Фурье функции

Интегральное преобразование функций, задаваемое формулой F-1 – это

• обратное преобразование Фурье
• формула Пуассона решения задачи Коши для уравнения теплопроводности
• фундаментальное решение уравнения теплопроводности
• свертка функций

Выражение является решением задачи Коши для уравнения теплопроводности, где А и B равны

• ,
• ,
• ,
• ,

Интегралом Фурье функции f(x)=x2 называется выражение вида

• x2 =
• x2 =
• x2 =
• x2 =

Укажите, какие утверждения верны: А) Сверткой функций и ,, называется функция, определяемая по формуле B) Метод Фурье-преобразования неудобен для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

• А – да, B – да
• А – да, B – нет
• А – нет, B – да
• А – нет, B – нет

Cинус-преобразование Фурье функции f(x) записывается в виде: Fs(a) = f(x)sinax dx. Найти синус-преобразование Фурье функции

• [ – ]
• [ – ]
• [ – ]
• [ – ]

Если функция определена для всех , то ей соответствует , которая для является _________ Фурье

• обратным преобразованием
• ядром преобразования
• ядром обратного преобразования
• преобразованием

Функция в интегральном преобразовании – это

• Свертка функций
• Ядро преобразования
• Интеграл Фурье функции по косинусам
• Интеграл Фурье функции по синусам

Выражение , где , , является решением задачи Коши для уравнения

• теплопроводности
• волнового
• Пуассона
• Лапласа

Укажите, какие утверждения верны: А) Для определения обратного преобразования от произведения Фурье-образов, надо найти прообразы каждого из сомножителей, то есть функции и , а затем вычислить их свертку. B) Интегральным преобразованием называют преобразование, которое каждой функции ставит в соответствие новую функцию по формуле

• А – да, B – да
• А – да, B – нет
• А – нет, B – да
• А – нет, B – нет

Интегралом Фурье функции f(x)= называется выражение вида

Укажите, какие утверждения верны: А) Если функция определена при , то ее обратным преобразованием Фурье F называется функция, которая определяется по формуле B) В случае, когда функция задана только на полупрямой , ее можно представить в виде интеграла Фурье по косинусам или по синусам, если продолжить в интервал, соответственно, четным или нечетным образом

• А – нет, B – да
• А – да, B – нет
• А – да, B – да
• А – нет, B – нет

Укажите, какие утверждения верны: А) С каждым прямым преобразованием Фурье связано обратное преобразование, которое должно восстанавливать первоначальную функцию из преобразованной, то есть всегда возникает пара взаимно обратных преобразований B) Обратное преобразование Фурье определяется формулой

• А – нет, B – да
• А – да, B – нет
• А – нет, B – нет
• А – да, B – да

Интегралом Фурье функции cos x называется выражение вида

• cos x=
• cos x=
• cos x=
• cos x=

Косинус-преобразование Фурье функции f(x) записывается в виде: Fc(a) = f(x)cosax dx. Найти косинус-преобразование Фурье функции

Коэффициент В(l) в задаче Коши для уравнения теплопроводности Ut = Uxx, U(x,0) = j(x) вычисляется по формуле В(l) = j(x)sinxdx. Тогда коэффициент B(l) при U(x,0) = j(x) = равен

• 1
• 0

Cинус-преобразование Фурье функции f(x) записывается в виде: Fs(a) = f(x)sinax dx. Найти синус-преобразование Фурье функции если известно, что (4х-1)sinax dx = — + cosax dx

• [ + sin]
• [ — sin]
• [- — sin]
• [- + sin]

Преобразование Фурье F[f] по t функции f(x,t) имеет свойство

• F[] = F[f]
• F[] = F[f]
• F[] = F[f]
• F[] = F[f]

Преобразование Фурье F[f] по х функции f(x,t) имеет свойство

• F[fх] = F[f]
• F[ft] = is F[f]
• F[ft] = F[f]
• F[] = is F[f]

Укажите, какие утверждения верны: А) Преобразование Фурье — интегральное преобразование функций, задаваемое формулой F B) Интеграл Фурье функции по косинусам — представление функции в виде , где

• А – нет, B – нет
• А – нет, B – да
• А – да, B – нет
• А – да, B – да

Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности Ut = a2Uxx с начальным условием U(x,0) = j(x)= имеет вид:

• U(x,t) = 200
• U(x,t) =
• U(x,t) =
• U(x,t) =

Укажите, какие утверждения верны: А) Формула называется интегральной формулой Пуассона для уравнения теплопроводности B) Функция называется функцией Лапласа

• А – да, B – да
• А – нет, B – да
• А – нет, B – нет
• А – да, B – нет

Выражение вида f(x) =F(s)eixsds называется _____ Фурье

• разложением
• интегралом
• коэффициентом
• обратным преобразованием

_________ — метод решения дифференциальных уравнений, который позволяет от одного уравнения перейти к нескольким уравнениям, но с меньшим числом независимых переменных

• Метод разделения переменных
• Метод преобразования Фурье
• Метод интегральных преобразований
• Метод дифференциальных преобразований

Укажите, какие утверждения верны: А) Точечный тепловой импульс – это идеализация физического теплового импульса при , если и B) Фундаментальное решение уравнения теплопроводности — функция , которая при всех является решением уравнения теплопроводности при всех и

• А – нет, B – нет
• А – нет, B – да
• А – да, B – да
• А – да, B – нет

Укажите, какие утверждения верны: А) метод разделения переменных – позволяет от одного уравнения перейти к нескольким уравнениям, но с меньшим числом независимых переменных (в частности, к обыкновенным дифференциальным уравнениям) B) Интегральное преобразование определяется формулой

• А – да, B – да
• А – нет, B – нет
• А – да, B – нет
• А – нет, B – да

Косинус-преобразование Фурье функции f(x) записывается в виде: Fc(a) = f(x)cosax dx. Найти косинус-преобразование Фурье функции

Свёрткой функций f(x) и g(x) называется функция

• f*g =f(x)g(x)dx
• f*g =f(x-x)g(x)dx
• f*g =f(x)g(x)dx
• f*g =f(x)g(x)dx

Интегралом Фурье функции f(x)=x называется выражение вида

• x =
• x =
• x =
• x =

Укажите, какие утверждения верны: А) Функция Хэвисайда – r(t)= B) Свойство свертки — для функций и , , справедлива формула

• А – нет, B – да
• А – нет, B – нет
• А – да, B – да
• А – да, B – нет

Cинус-преобразование Фурье функции f(x) записывается в виде: Fs(a) = f(x)sinax dx. Найти синус-преобразование Фурье функции

• ×
• ×
• ×
• ×

Функция — это

• Функция Лапласа
• Функция Хэвисайда
• Фурье-изображение
• Интеграл Фурье функции