Введение в теорию игр и вероятности (профильный курс). Часть 1

Два стрелка стреляют по разу в общую цель. Вероятность попадания в цель у одного стрелка 0.8, у другого — 0.9. Найти вероятность того, что цель не будет поражена ни одной пулей

• 0.96
• 0.02
• 0.72
• 0.98

Стрелок попадает в цель в среднем в 8 случаях из 10. Найдите вероятность, что, сделав три выстрела, он два раза попадет

• 0.324
• 0.392
• 0.314
• 0.384

Человеку, достигшему 60-летнего возраста, вероятность умереть на 61-м году жизни равна 0.09. Найдите вероятность того, что из трех человек в возрасте 60 лет хотя бы один умрет через год

• 0.9100
• 0.7536
• 0.2464
• 0.8281

MX = 5, MY = 2. Используя свойства математического ожидания, найдите M(2X — 3Y)

• 2
• 3
• 5
• 4

Бросаются 2 кубика. Вероятность, что сумма выпавших очков равна 3, составит

• 1/3
• 1/6
• 1/18
• 3/36

Выпущено 100 лотерейных билетов, причем установлены призы, из которых 8 по 1 руб., 2 — по 5 руб. и 1 — 10 руб. Найдите вероятности p0 (билет не выиграл), p1 (билет выиграл 1 руб.), p5 (билет выиграл 5 руб.) и p10 (билет выиграл 10 руб.) событий.

• p0=0.9; p1=0.08; p5=0.02; p10=0.01
• p0=0.89; p1=0.08; p5=0.02; p10=0.01
• p0=0.88; p1=0.08; p5=0.02; p10=0.01
• p0=0.89 p1=0.08; p5=0.01; p10=0.02

Если вероятность события A есть р(, то найдите вероятность события, ему противоположного

• 1-р(
• 1
• 0.5
• 0

Вероятность того, что размеры детали, выпускаемой станком-автоматом, окажутся в пределах заданных допусков, равна 0.96. Определите процент брака q и количество негодных деталей в среднем (назовем это число M), которое будет содержаться в каждой партии объемом 500 штук

• q = 4%; M = 20
• q = 0.4%; M = 496
• q = 0.96%; M = 40
• q = 96%; M = 480

Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента при включении прибора — 0.05, второго — 0.08. Найти вероятность того, что при включении прибора оба элемента будут работать

• 0.871
• 0.826
• 0.928
• 0.874

Вероятность того, что дом может сгореть в течение года, равна 0.01. Застраховано 500 домов. Определите асимптотическое приближение, чтобы сосчитать вероятность того, что сгорит не более 5 домов

• распределением Пуассона
• интегральной формулой Муавра-Лапласа
• надо сосчитать по формуле Бернулли, асимптотические формулы дадут большую ошибку
• локальной формулой Муавра-Лапласа

В среднем каждое сотое изделие, производимое предприятием, дефектное. Если взять два изделия, определите вероятность, что оба окажутся исправными

• 0.001
• 0.9801
• 0.213
• 0.01

Станок-автомат производит изделия трех сортов. Первого сорта — 80%, второго — 15%. Определите вероятность того, что наудачу взятое изделие будет или второго, или третьего сорта

• 0.8
• 0.95
• 0.15
• 0.2

События A и B называются несовместными, если

• р(AB)=р(+р(B)
• р(AB)=0
• р(AB)=1
• р(AB)=р(р(B)

Из колоды, состоящей из 36 карт, вынимают наугад две карты. Вероятность того, что попадут две карты одинаковой масти равна

Количество поражений шахматиста в течение года имеет распределение Пуассона с параметром λ=6. Вероятность того, что шахматист в течение года проиграет не более двух партий равна

Студенту предлагают 6 вопросов и на каждый вопрос 4 ответа, из которых один верный, и просят дать верные ответы. Студент не подготовился и выбирает ответы наугад. Найдите вероятность того, что он правильно ответит ровно на половину вопросов (С точностью до 3-х знаков после запятой)

• 0.164
• 0.256
• 0.132
• 0.112

Человеку, достигшему 60-летнего возраста, вероятность умереть на 61-м году жизни равна 0.09. Найдите вероятность того, что из трех человек в возрасте 60 лет ни один не будет жив через год

• 0.999271
• 0.999886
• 0.000729
• 0.000713

Найдите вероятность невозможного события

• 0.5
• 0
• 1
• Может быть любым числом

При изготовлении детали заготовка должна пройти четыре операции. Полагая появление брака на отдельных операциях событиями независимыми, найти (с точностью до 4-х знаков после запятой) вероятность изготовления нестандартной детали, если вероятность брака на первой стадии операции равна 0.02, на второй — 0.01, на третьей — 0.02, на четвертой — 0.03

• 0.0777
• 0.9200
• 0.0800
• 0.9222

Из колоды, состоящей из 36 карт, вынимают наугад две карты. Вероятность того, что это будут две пики равна

Вероятность выиграть в рулетку равна 1/38. Игрок делает 190 ставок. Вероятность того, что он выиграет не менее 5 раз можно найти с помощью

• плотности нормального распределения
• надо сосчитать по формуле Бернулли, асимптотические формулы дадут большую ошибку
• распределения Пуассона
• функции Лапласа Ф(х)

Лампочки изготавливаются независимо друг от друга. В среднем одна лампочка из тысячи оказывается бракованной. Найдите вероятность того, что из двух взятых наугад лампочек окажутся исправными обе

• 0.9
• 0.9999
• 0.998001
• 0.98

Изделия изготавливаются независимо друг от друга. В среднем одно изделие из ста оказывается бракованным. Найдите вероятность того, что из 200 взятых наугад изделий 2 окажутся неисправными

• 0.01
• 0.001
• 0.024
• 0.271

Изделия изготавливаются независимо друг от друга. В среднем одно изделие из ста оказывается бракованным. Найдите вероятность того, что из двух взятых наугад изделий окажутся неисправными оба

• 0.001
• 0.02
• 0.01
• 0.0001

Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа станок потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0.1, для второго — 0.2 и для третьего — 0.15. Найти вероятность того, что в течение некоторого часа хотя бы один из станков потребует внимания рабочего

• 0.635
• 0.365
• 0.388
• 0.612

Рулетка размечается с помощью меток — 00, 0, 1, …36. Метки при игре не имеют преимуществ друг перед другом. Игрок делает 114 попыток. Найдите вероятность ни разу не выиграть

• 0.03
• 0.05
• 0.08
• 0.07

Бросается 6 монет. Вероятность того, что герб выпадет более четырех раз равна

Человеку, достигшему 20-летнего возраста, вероятность умереть на 21-м году жизни равна 0,01. Найдите вероятность того, что из 200 застраховавшихся человек в возрасте 20-ти лет один умрет через год

• 0.271
• 0.256
• 0.246
• 0.297

Куплено 1000 лотерейных билетов. На 80 из них упал выигрыш по 1 руб., на 20 — по 5 руб., на 10 — по 10 руб. Найдите таблицу, описывающую закон распределения выигрыша

Вратарь парирует в среднем 30 % всех одиннадцатиметровых штрафных ударов. Найдите вероятность того, что он возьмет ровно два из четырех мячей

• 0.2646
• 0.3145
• 0.3248
• 0.2811

Имеется группа из n несовместных событий Hi, в сумме составляющих все пространство, и известны вероятности P(Hi), а событие A может наступить после реализации одного из Hi, и заданы вероятности P(A/Hi). Известно, событие A произошло. Вероятность, что при этом была реализована Hi вычисляется по формуле

• Муавра-Лапласа
• Полной вероятности
• Байеса
• Бернулли

Возможные значения случайной величины X таковы: x1 = 2, x2 = 5, x3 = 8. Известны вероятности: р(X = 2) = 0.4; р(X = 5) = 0.15. Найдите р(X = 8)

• 0.55
• 0.5
• 0.45
• 0.4

Количество Х принимаемых по телефону за час звонков имеет распределение Пуассона. Среднее количество принимаемых за час звонков λ=5. Вероятность того, что за час будет принято точно 3 звонка равна

Задана таблица распределения случайной величины. Найти р(X

• 3/8
• 3/4
• 5/8
• 1/2

X и Y — независимы. DX = 5, DY = 2. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+3Y)

• 30
• 16
• 38
• 26

Вероятность появлений события А в испытании равна p. Найдите дисперсию числа появлений события А в одном испытании

• p(1-p)
• p
• 1/p
• 1-p

В круг радиусом 20 см помещен меньший круг радиусом 10 см так, что их центры совпадают. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения

• 0.5
• 0.4
• 0.75
• 0.25

Бросаются 2 монеты. Вероятность того, что выпадут и герб, и решка, равна

• 0.3
• 0.5
• 1/3
• 1/4

На некотором заводе было замечено, что при определенных условиях в среднем 1.6% изготовленных изделий оказываются неудовлетворяющими стандарту и идут в брак. Определите вероятность того, что наугад взятое изделие этого завода окажется качественным и количество, примерно, непригодных изделий (назовем это число M) в партии из 1000 изделий

• р = 1.6; M = 16
• p = 0.16; M = 16
• p = 0.016; M = 160
• p = 0.984; M = 16

В пирамиде 5 винтовок, 3 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность попадания для стрелка при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0.95, из обычной винтовки — 0.7. Стрелок наудачу берет винтовку и стреляет. Найти вероятность того, что мишень будет поражена

• 0.83
• 0.87
• 0.9
• 0.85

Условной вероятностью события B при условии, что событие A с ненулевой вероятностью произошло, называется

• р(B/=р(AB)/р(
• р(B/=р(AB)
• р(B/=р(AB)р(
• р(B/=р(AB)/р(B)

Для вероятности р по выборке объема n с помощью величены и таблиц нормального распределения строится доверительный интервал. Если увеличить объем выборки в 100 раз, длина доверительного интервала примерно

• уменьшится в 10 раз
• увеличится в 100 раз
• уменьшится в 100 раз
• увеличится в 10 раз

Если вероятность р некоторого события неизвестна, а для оценки этой вероятности производится n испытаний, то 95%-ый доверительный интервал для величины р находится по формуле

• I0,95 (p)=, где
• I0,95 (p)=, где
• I0,95 (p)=
• I0,95 (p)=

Вероятность суммы любых случайных событий A и B вычисляется по формуле

• р(A+B)=р(+р(B)-р(AB)
• р(A+B)=р(AB)
• р(A+B)=р(+р(B)-2р(AB)
• р(A+B)=р(+р(B)

Для проверки на всхожесть было посеяно 2000 семян, из которых 1700 проросло. Определите вероятность p прорастания отдельного семени в этой партии и количество семян в среднем (назовем это число M), которое взойдет из каждой тысячи посеянных

• q=3/20; M=800
• p=0.85; M=850
• p=0.15; M=150
• p=17/20; M=750

Для построения доверительного интервала для оценки вероятности надо пользоваться таблицами

• нормального распределения
• распределения Стьюдента
• распределения Стьюдента или распределения Пирсона ()
• распределения Пирсона ()

Теннисист идет на игру. Если ему дорогу перебежит черная кошка, то вероятность победы 0,2; если не перебежит, то — 0,7. Вероятность, что кошка перебежит дорогу — 0,1; что не перебежит — 0,9. Вероятность победы

• 0,1·0,8+0,9·0,3
• 0,1·0,2+0,9·0,7
• 0,9·0,2+0,1·0,7
• 0,1·0,2·0,9·0,7

MX = 1.5. Используя свойства математического ожидания, найдите M(2X+5)

• 6.5
• 8
• 3
• 5

Вероятность появления события А в испытании равна 0.1. Найдите среднеквадратическое отклонение числа появлений события А в одном испытании

• 0.9
• 0.3
• 0.03
• 0.09

В круг радиусом 10 помещен меньший круг радиусом 5. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения

• 0.75
• 0.05
• 0.25
• 0.5