Численные методы решения задач математического анализа и систем линейных и нелинейных уравнений. Часть 1

Заданы системы линейных уравнений 1) 2) 3) Свойством диагонального преобладания обладают матрицы систем

• 1
• 2 и 3
• 2
• 1 и 2

Итерационный метод решения нелинейного уравнения F( x ) = 0 по формуле xk+1 = xk − F( xk ) / F′( xk ) называется методом

• простой итерации
• Ньютона
• секущих
• половинного деления

Заданы матрицы 1) , 2) ,3) Условиям диагонального преобладания удовлетворяют матрицы

• 1 и 2
• 1
• 3
• 2

Результат вычисления интеграла методом Симпсона с разбиением на два интервала (h = 1) равен

• 1
• 2∕3
• 3∕4
• 0,5

Задана табличная функция y =f(x) Интеграл при вычислении методом трапеций равен

• 0,38
• 1,3
• 1,1
• 1

Выбор начального приближения на сходимость или расходимость метода Зейделя при решении систем линейных уравнений

• влияет, если матрица не является верхней треугольной
• влияет, если матрица не симметричная
• влияет всегда
• не влияет

Для матрицы A = обратной матрицей будет

Порядок сходимости метода Ньютона равен

• единице
• двум
• нулю
• трем

Задана система уравнений Для заданного начального приближения x1(0) = 0 ;x2(0) = 1, первый шаг метода Зейделя дает следующие значения первого приближения { x1(1) , x2(1) }

• { 2,5 ; 0,95 }
• { 2,5 ; 0,2 }
• { 1,5 ; 0,2 }
• { 2 ; 0 }

Многочлен Чебышева на отрезке [ -1, 1 ] удовлетворяют условию

В таблично заданной функции производная в точке вычислена с использованием шагов h и 2h . Получены величины = 2,4 и = 2,7. Погрешность формулы для вычисления производных имеет порядок . Тогда уточненное значение производной по методу Рунге равно

• 2,5
• 2,3
• 2,457
• 2,207

Нелинейное уравнение задано в виде x=φ( x ). Тогда условием сходимости метода простой итерации будет условие

• A) A)
• φ′(x) φ″(x) > 0
• φ( x ) — непрерывная функция
• 2

Обратной матрицей для матрицы A = будет матрица

В таблично заданной функции производная в точке вычислена с использованием шагов h и 2h . Получены величины = 1,5 и = 1,3. Погрешность формулы для вычисления производных имеет порядок . Тогда уточненное значение производной по методу Рунге равно

• 1,7
• 1,6
• 1,65
• 1,4

Дано нелинейное уравнение x2 − sinx + 1 = 0 и начальное приближение x0 = 0. Первое приближение x1 в методе Ньютона равно

• 1
• 0,1
• 0,5
• −1

Для таблично заданной функции вычисление y(0,1) с помощью линейной интерполяции дает результат

• 0,01
• 0,22
• 0,02
• 0,03

Аппроксимация первой производной имеет погрешность порядка

• 1,5
• 3
• 1
• 2

Достаточные условия сходимости метода Зейделя для системы линейных уравнений с матрицей A заключаются в том, что

• ( i = 1, 2, . . . n ; j = 1, 2, . . . n )
• aii ≠ 0 ( i = 1, 2, . . . n )
• ( i = 1, 2, . . . n ; j = 1, 2, . . . n )
• ( 1 ≤ j ≤ n , j ≠ i , i = 1, 2, . . . n )

Для обратного хода метода Гаусса подготовлены следующие системы уравнений

• 3
• 1 и 2
• никакая
• 2

Заданы уравнения 1) x2 = 2cos; 2) x = 2cosx; 3) sinx = 2cosx; 4) x = 2e-x + 1 Вид, удобный для итераций, имеют уравнения

• 2, 3, 4
• 1, 4
• 2, 4
• 1, 2

Даны линейные системы 1) 2) 3) ) Свойством диагонального преобладания обладают системы

• 2, 4
• 1, 4
• 2, 3, 4
• 1, 2

Критерий близости двух функций f(x) и φ(x) при среднеквадратичном приближении заключается в том, что на заданной системе точек ( i = 0, 1, 2, . . . n ) минимизируется следующее выражение

Запись нелинейного уравнения в виде x = φ( x ) требуется при решении его численным методом

• простой итерации
• Ньютона
• половинного деления
• Гаусса

В таблично заданной функции производная в точке вычислена с использованием шагов h и 2h . Получены величины = 0,8 и = 0,65. Погрешность формулы для вычисления производных имеет порядок . Тогда уточненное значение производной по методу Рунге равно

• 0,87
• 0,7
• 0,805
• 0,75

Задано нелинейное уравнение вида lnx + x — 0,5 = 0 и начальное приближение x0 = 1. Один шаг метода Ньютона дает

• x1 = 0,5
• x1 = 0,75
• x1 = 1,5
• x1 = 1,25

Результат вычисления интеграла методом трапеций с разбиением на два интервала (h = 1) равен

• 0,333333
• 0,5
• 0
• 0,25

Уравнение записано в виде, удобном для итераций x=0,5cos2x + π ∕ 8 . Первое приближение метода простой итерации x1 для начального приближения x0=π ∕ 4 равно

• π ∕ 4
• 3π ∕ 8
• 3π ∕ 4
• π ∕ 8

При вычислении интеграла подынтегральная функция задана таблицей Метод Симпсона с h = 0,5 дает следующее значение интеграла:

• -0,25
• -0,3125
• -0,375
• -0,3

Подынтегральная функция y = f(x) задана таблично Вычисление интеграла методом трапеций при h = 0,2 дает значение равное:

• 0,78
• 1,02
• 0,79
• 0,68

Для таблично заданной функциивеличина , вычисленная с помощью центральной разности равна

• 5
• 4,5
• 4
• 6

Интерполяцией называется такая аппроксимация исходной функции f(x) интерполирующей функцией φ(x), при которой

• минимальна

Метод половинного деления для уравнения F( x ) = 0 для непрерывной функции F( x ), удовлетворяющей на отрезке [ a , b ] условию F(a ) F(b)

при
Всегда
при
при

• при
• Всегда
• при
• при

Приближенное значение интеграла, вычисленные методом трапеций с шагами h и h∕2 равны . Погрешность метода имеет вид . Уточненное значение интеграла по методу Рунге равно:

• 3,15
• 3,3
• 3,5
• 2,9

Задана табличная функция y = f(x) Первая производная на левом конце с погрешностью равна

• 2
• 1,5
• 1,7
• 2,5

Задана система линейных уравнений Один шаг метода Зейделя с начальным приближением { 0 ; 0 ; 0 } дает следующее первое приближение

• { 0,5 ; 2; 0,1 }
• { 0 ; 2 ; 0,2 }
• { 0,5 ; 2 ; 0,0205 }
• { 0,3 ; 2,05 ; 2 }

Отделить корни при решении нелинейного уравнения F( x ) = 0 это значит:

• для каждого корня указать область притяжения
• для каждого корня указать интервал, в котором он будет единственным
• отделить положительные корни от отрицательных
• расставить корни в порядке их возрастания

Дана система и задано начальное приближение (1; 1). Один шаг метода Зейделя дает первое приближение

• (0,6 ; 1,06)
• (0,6 ; 1,1)
• (0,1 ; 1,06)
• (0,6 ; 1)

При вычислении интеграла подынтегральная функция задана таблицей Метод трапеций с h = 0,5 дает следующее значение интеграла:

• 1
• 1,5
• 0,5
• 2/3

Для системы линейных уравнений известны обратная матрица A-1 и вектор правых частей . A-1 = = . Тогда вектор решения системы равен

• { 1 ; 0,1 }
• { 0,5 ; 1 }
• { 1 ; 0,5 }
• { 1,5 ; 1,1 }

Сплайн — интерполяция — это:

• интерполяция, использующая показательные функции
• интерполяция, использующая тригонометрические функции
• кусочно-постоянная функция
• кусочно-многочленная интерполяция

Дано уравнение x = sinx + 1 и начальное приближение x0 = π ⁄ 2 . Первое приближение x1 метода простой итераций равно

• π
• 1
• 2
• 0

Дано нелинейное уравнение cos2x — 2x + π ∕ 4 = 0 и начальное условие x0 = π ∕ 4. Первое приближение метода Ньютона x1 будет равно

• 5π ∕ 16
• π ∕ 2
• 3π ∕ 16
• 3π ∕ 4

Заданы системы линейных уравнений 1) 2) 3) Свойством диагонального преобладания обладают матрицы систем

• 1 и 3
• 2 и 3
• 3
• 2

Достаточным условием сходимости метода Ньютона для уравнения F( x ) = 0 будет выполнение условия

Задано нелинейное уравнение вида x3 + 2x — 1 =0 и отрезок [ 0 ; 1 ] , на котором находится корень . Один шаг метода половинного деления дает отрезок

• [ 0,5 ; 1 ]
• [ 0,25 ; 1 ]
• [ 0 ; 0,5 ]
• [ 0,25 ; 0,75 ]

Аппроксимация называется непрерывной, если аппроксимирующая функция φ(x)

• является непрерывной
• строится на отрезке [a, b]
• аппроксимирует исходную непрерывную функцию f(x)
• является многочленом

Даны линейные системы

Задано нелинейное уравнение вида x = x3 — 2x и начальное приближение x0 = 2. Один шаг метода простой итерации дает

• x1 = 10
• x1 = 2,5
• x1 = 1
• x1 = 4

Формула линейной интерполяции имеет вид

Задана линейная система . Начиная с начального значения x1(0) = x2(0) = x3(0) = 0 , один шаг метода Зейделя { x1(1), x2(1), x3(1)} будет равен

• {0,75 ; 1,2; 0,445 }
• { 0,75 ; 1,35 ; 0,445 }
• {0,75 ; 1,2; 0,1 }
• {0,75 ; 1,35 ; 0,05 }