Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных. Часть 1

Если кривая задана векторным уравнением , где — длина дуги, то в некоторой точке — это

• орт касательной, направленный в сторону возрастания
• орт касательной
• орт нормали
• касательная прямая

Стационарная точка функции

• (0, 0)
• не существует
• (-2, 0)
• (-1, 0)

Функция , заданная на множестве точек , непрерывна в точке , если

• функция определена в точке
• функция определена в точке и ее -окрестности
• существуют и

Двойной интеграл по области , ограниченной линиями и , равен повторному интегралу

Достаточным признаком экстремума функции в точке является

• ;
• и

Областью определения функции является множество

• — это открытая область, состоящая из точек под прямой

Производная функции в точке в направлении, задаваемом вектором , равна

• (, , , , — угол наклона вектора )

Производная функции в направлении вектора в точке равна

• 2
• —
• 4

Градиент функции в точке равен

• 3

Двойной интеграл , где — область, ограниченная линиями и , равен повторному интегралу

Наибольшая скорость возрастания функции при переходе через точку (3, 4) равна

Кривая расположена в некоторой плоскости. Тогда соприкасающаяся плоскость к ней в какой-то ее точке есть

• та плоскость, в которой расположена кривая
• касательная плоскость
• та плоскость, которая соприкасается с кривой
• та плоскость, которая касается кривой

Областью определения функции является множество

Параметрические уравнения кривой линии называются натуральными, если

• за параметр берется длина кривой
• кривая — годограф векторной функции
• за параметр принимается длина дуги , отсчитываемая от некоторой зафиксированной точки до текущей по кривой точки
• это векторное уравнение

Если , то и равны

Касательная плоскость к сфере в точке имеет уравнение

Градиент функции в точке (1,2,3) равен

Функция в точке (0, 0) имеет частные производные . Следовательно

• не существует, так как функция в точке (0, 0) имеет разрыв

Областью определения функции является множество

-окрестностью точки в называется

• интервал с центром в этой точке
• круг с центром в этой точке
• шар с центром и радиуса , причем поверхность сферы этого шара в -окрестность не включается
• замкнутый шар радиуса

Двойной интеграл , где — область, ограниченная линиями , равен повторному интегралу

Дифференциалы и принимаются равными приращениям аргументов и потому, что

• для функции будет и (для — аналогичное рассуждение)
• и — б.м. высшего порядка
• дифференциал — главная часть приращения
• и — бесконечно малые

Частные производные функции по и в точке равны

Частная производная функции равна

• 0

Полный дифференциал функции в точке равен

Областью определения функции является множество

• ; это открытая область, лежащая над параболой (рюмка параболы — вниз); сама парабола не входит в это множество

, , . Тогда производная равна

Областью определения функции является

• вся плоскость , кроме точки
• точка
• вся плоскость

Выражение является

• вторым дифференциалом
• градиентом
• неполным дифференциалом
• полным дифференциалом

Градиент функции в точке равен

Двойным интегралом от функции по области называется предел интегральных сумм _________ , где — площадь области ,

Точка является граничной точкой множества , если

• в некоторой -окрестности есть точки из и точки, не принадлежащие
• не принадлежит
• лежит на границе
• в любой -окрестности находятся как точки из , так и точки, не принадлежащие

Если , то соответственно и равны

Областью определения функции является множество

• точек

Градиент функции в произвольной точке равен

Пространство — это

• множество всевозможных упорядоченных наборов из чисел (), называемых точками этого пространства
• в степени
• множество точек
• обобщение обычного пространства

и — стороны прямоугольника, — его площадь. Областью определения функции является множество

• вся плоскость
• вся плоскость, кроме точки

Кривизной кривой линии в ее точке называется

• предел средней кривизны , когда :
• угол между касательными в точке
• предел абсолютной величины угла между касательными при
• предел угла между касательными при

Полным дифференциалом функции в точке называется

Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области , дифференцируема во внутренних точках и имеет в единственный экстремум — максимум, то своего наименьшего значения она достигает

• в граничной точке области
• в другой точке внутри
• во внутренней или граничной точке
• в любой точке

Стационарная точка функции

• (-1, -1, -1)
• не существует
• (0, 0, 0)
• (1, 2, -6)

Частная производная функции равна

Известно, что в точке полное приращение данной функции есть б.м. высшего порядка в сравнении с . Тогда дифференциал в этой точке

• равен
• равен
• не определен
• равен нулю

Полное приращение функции в точке равно

Стационарной точкой функции будет

• (2, -1)
• (0, 0)
• (1, -1)

Двойной интеграл , где — область, ограниченная линиями и , равен повторному интегралу

Неявная функция задана уравнением . Тогда частные производные и соответственно раны

• и
• и
• и
• и

Наибольшая скорость возрастания функции при переходе через точку (1, 2) равна

• 1

Производная векторной функции при направлена по

• касательной прямой в точке
• нормали к линии
• касательной прямой к годографу функции , проведенной в точке
• касательной прямой

Замкнутая область — это

• множество, ограниченное поверхностью
• множество, получающееся, если к открытой области присоединить все ее граничные точки
• замкнутый интервал
• множество всех граничных точек