Геометрия (11 класс). Часть 1

Движения ______________ рода — движения, которые изменяют ориентацию базисов на противоположную

• третьего
• четвертого
• первого
• второго

Композиция ________или__________ движений второго рода есть движение первого рода

• четырех
• трех
• двух
• пяти

Множество всех прямых, проходящих через точку О, называется _________ прямых с центром О

• набором
• комплектом
• последовательностью
• связкой

Верны ли утверждения? А) Центральное проектирование не сохраняет отношение двух коллинеарных отрезков, т. е. простое отношение трех коллинеарных точек В) Если четыре различные точки К, L, М, N прямой q получены центральным проектированием из точки О соответственно точек А, В, С, D прямой, то Подберите правильный ответ

• А — да, В — нет
• А — нет, В — нет
• А — да, В — да
• А — нет, В — да

Если цилиндр, на котором лежит винтовая линия, развернуть на плоскость, то дуга винтовой линии развернется (отобразится) в _____________ прямоугольного треугольника с катетами длиной h и p, где h есть смещение точки вдоль оси, а р — длина дуги, описанной на окружности радиусом r

• гипотенузу
• медиану
• биссектрису
• высоту

__________ точкой отображения j называется такая точка А отображения j, что j(А) = А

• Реальной
• Неподвижной
• Переменной
• Образующей

Установите соответствие

• основной инвариант группы G
• совокупность всех преобразований симметрии данной фигуры (включая тождественное преобразование)
• инварианты группы G
• группа преобразований, состоящая лишь из тождественного преобразования
• тривиальная группа преобразований
• свойства фигур, сохраняющиеся при любых преобразованиях из группы G
• группа симметрии фигуры
• инвариант, через который в группе G можно выразить остальные ее инварианты

Движение пространства второго рода представимо в виде композиции _____ отражений в плоскости

• четырех
• двух
• пяти
• трех

Верны ли утверждения? А) Параллельный перенос есть движение, сохраняющее направления В) Движение, сохраняющее направления, есть параллельный перенос Подберите правильный ответ

• А — да, В — да
• А — нет, В — нет
• А — нет, В — да
• А — да, В — нет

Установите соответствие

• псевдоевклидово пространство
• множество, в котором каждой паре элементов (точек) X, Y отнесено число |ХY| — расстояние с известными нам условиями: 1) |XY| = 0 тогда и только тогда, когда X = Y; 2) |XY| = |YX|; 3) |XY| + |YZ| ³ |XZ|
• аффинное преобразование f плоскости (пространства)
• обратимое преобразование проективной плоскости, переводящее прямые в прямые
• проективное преобразование проективной плоскости
• такое обратимое отображение плоскости (пространства) в себя, что найдутся две такие аффинные системы координат, относительно которых любая точка М в первой системе координат и ее образ М’ = f(M) во второй системе координат имеют одинаковые соответствующие координаты
• метрическое пространство
• пространство любого числа измерений, в котором в некоторых координатах каждой паре точек сопоставлена величина:

______________ система отсчета — система отсчета, в которой выполняется закон инерции: тело, не испытывающее воздействия каких бы то ни было сил, движется относительно системы равномерно и прямолинейно

Верны ли утверждения? А) Подобие не является частным случаем аффинного преобразования В) Примером аффинного отображения плоскости является параллельное проектирование плоскости на плоскость Подберите правильный ответ

• А — нет, В — нет
• А — да, В — нет
• А — нет, В — да
• А — да, В — да

Верны ли утверждения? А) Движение — это отображение, сохраняющее расстояния В) Тождественное отображение является движением Подберите правильный ответ

• А — нет, В — да
• А — нет, В — нет
• А — да, В — да
• А — да, В — нет

Минимальной по числу элементов является _________________ группа преобразований — группа преобразований, состоящая лишь из тождественного преобразования

Верны ли утверждения? А) Каждый вектор определяет перенос и обратно: каждому переносу соответствует вектор В) Сложение векторов соответствует композиции переносов Подберите правильный ответ

• А — да, В — да
• А — да, В — нет
• А — нет, В — нет
• А — нет, В — да

______________ множества М в множество N называется соответствие каждому элементу из множества М единственного элемента из множества N

Верны ли утверждения? А) При движении образом полупространства является полупространство В) При движении углы сохраняются, т.е. всякий угол отображается на угол того же вида и той же величины Подберите правильный ответ

• А — нет, В — нет
• А — да, В — нет
• А — нет, В — да
• А — да, В — да

Свойства фигур, основанные на _______________, — это такие их свойства, которые сохраняются при любых обратимых и непрерывных (в обе стороны) отображениях, т.е. при отображениях, происходящих без склеиваний и разрывов

Две фигуры Р и Q в множестве М называют G-______________, если в группе G найдется такое преобразование f, что Q = f(P)

• изомерными
• конгруэнтными
• компланарными
• когерентными

Установите соответствие

• взаимно однозначное отображение
• отображение f, имеющее обратное отображение
• отображение множества М в множество N
• соответствие каждому элементу из множества М единственного элемента из множества N
• обратимое отображение
• отображение, при котором разным точкам фигуры соответствуют разные образы

Если заданы два тетраэдра ABCD и A’B’C’D’, то __________________________ тетраэдр ABCD в тетраэдр A’B’C’D’, т. е. j(А) = А’, j(В) = В’, j(С) = С’, j(D) = D’

• существует единственное аффинное преобразование j пространства, которое переводит
• существуют три аффинных преобразования j пространства, которые переводят
• существуют два аффинных преобразования j пространства, которые переводят
• не существует аффинных преобразований j пространства, которые переводят

Расположите преобразования в порядке возрастания количества точек, которыми они задаются

• движение на плоскости (род которого известен)
• проективное преобразование
• аффинное преобразование

Любое движение пространства второго рода, имеющее неподвижную точку, является зеркальным поворотом, который, в частности, может быть

• переносом
• центральной
• винтовым движением
• зеркальной симметрией

Верны ли утверждения? А) Движения преобразуют прямоугольные системы в прямоугольные В) Движение является частным случаем аффинного преобразования Подберите правильный ответ

• А — да, В — нет
• А — нет, В — да
• А — да, В — да
• А — нет, В — нет

Сдвиг вдоль оси х аналитически задается равенствами: _______________, k = const

• х’ = х, у’ = у + ky,
• х’ = х + ky, у’ = у,
• х’ = х ∙ ky, у’ = у + ky
• х’ = х, у’ = у,

Верны ли утверждения? А) Зеркальный поворот любой фигуры распространяется на все пространство В) Отражение в плоскости можно рассматривать как частный случай зеркального поворота — с нулевым углом поворота Подберите правильный ответ

• А — нет, В — нет
• А — да, В — да
• А — да, В — нет
• А — нет, В — да

Пусть в пространстве заданы два равных тетраэдра ABCD и А’В’C’D’. Тогда существует _________________, что j(А) = А’, j(В) = В’, j(С) = С’ и j(D) = D’

• два движения пространства j, такие
• четыре движения пространства j, такие
• три движения пространства j, такие
• единственное движение пространства j, такое

Верны ли утверждения? А) Точки А и А’ называются симметричными относительно плоскости α, если отрезок АА’ перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам В) Любая точка плоскости α считается симметричной самой себе относительно этой плоскости Подберите правильный ответ

• А — да, В — нет
• А — нет, В — да
• А — нет, В — нет
• А — да, В — да

Учение о свойствах фигур, основанных на прикосновении, выделилось в особую область геометрии, названную

• геометрией на шаре
• аналитической геометрией
• булевой алгеброй
• топологией

Верны ли утверждения? А) Поворот вокруг прямой сохраняет расстояния, т.е. является движением В) Поворот задается осью, углом и направлением поворота Подберите правильный ответ

• А — да, В — да
• А — нет, В — да
• А — да, В — нет
• А — нет, В — нет

___________________ движением называется композиция поворота и переноса на вектор, параллельный оси поворота

______________ отражением называется композиция отражения в некоторой плоскости и переноса вдоль этой плоскости (т.е. переноса на вектор, параллельный этой плоскости)

Отображение f, имеющее обратное отображение называется ___________ отображением

Композиция ________или__________ движений второго рода есть движение второго рода

• семи
• двух
• шести
• трех

Верны ли утверждения? А) Движение, при котором все точки некоторой плоскости неподвижны, является отражением в этой плоскости или тождественным отображением В) Отражение в плоскости задается указанием одной пары соответствующих точек, не лежащих в плоскости симметрии: плоскость симметрии проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, перпендикулярно к нему Подберите правильный ответ

• А — нет, В — нет
• А — нет, В — да
• А — да, В — да
• А — да, В — нет

Если в плоскости α заданы два треугольника ABC и А’В’С’, то _______________ треугольник ABC в треугольник А’В’С’, т.е. j(А) = А’, j(В) = В’, j(С) = С’

• существуют два аффинных преобразования j плоскости α, которые переводят
• существуют три аффинных преобразования j плоскости α, которые переводят
• не существует аффинных преобразований j плоскости α, которые переводят
• существует такое единственное аффинное преобразование j плоскости α, которое переводит

Движения фигуры, совмещающие ее саму с собой, называют ___________________ симметрии фигуры

• композициями
• действиями
• свойствами
• преобразованиями

Верны ли утверждения? А) Множество точек X’, соответствующих точкам фигуры М, при отображении f называется образом фигуры М и обозначается М’ = f(М) В) Отображение может сопоставлять одну и ту же точку разным точкам Подберите правильный ответ

• А — да, В — нет
• А — нет, В — нет
• А — да, В — да
• А — нет, В — да

_______________ группы преобразований G множества М, следуя Феликсу Клейну (1849-1925), называют систему предложений об инвариантах группы G

• Аксиоматикой
• Изометрией
• Геометрией
• Алгеброй

Движениями первого рода являются

• отражение в плоскости
• центральная симметрия
• поворот вокруг прямой
• перенос

______________ пространством называется множество, в котором каждой паре элементов (точек) X, Y отнесено число |ХY| — расстояние с условиями: |XY| = 0 тогда и только тогда, когда X = Y; |XY| = |YX|; |XY| + |YZ| ³ |XZ|

В отличие от всех прочих пространств то пространство, геометрию которого мы изучаем, называют трехмерным ________________ пространством

• топологическим
• евклидовым
• римановым
• декартовым

Параметрические уравнения винтовой линии имеют вид: ________________, где v — скорость движения вдоль оси, r — расстояние от точки винтовой линии до ее оси, t – время, w — угловая скорость

• х = -rctgvt, у = rctgvt, z = vt.
• х = rcoswt, у = rsinwt, z = vt.
• х = rcost, у = rsint, z = wt.
• х = rtgwt, у = -rtgwt, z = wt.

Теоретико-групповой подход к геометрии как к геометрии некоторой группы преобразований был предложен немецким математиком _________________ в лекции, получившей название «Эрлангенской программы»

• Ф.Клейном
• П.Гервином
• Ф.Бойаи
• К.Гауссом

Верны ли утверждения? А) Композиция четного числа движений второго рода есть движение первого рода В) Композиция нечетного числа движений второго рода есть движение второго рода Подберите правильный ответ

• А — да, В — да
• А — нет, В — да
• А — да, В — нет
• А — нет, В — нет

Совокупность всех преобразований симметрии данной фигуры (включая тождественное преобразование) называют ее ______________ симметрии фигуры

• семейством
• классом
• списком
• группой

Случай, противоположный отражению в плоскости, представляет зеркальный поворот с максимально возможным углом, т. е. с поворотом на ____°

• 180
• 270
• 90
• 120

Любое движение пространства первого рода, имеющее неподвижную точку, является

• поворотом вокруг прямой
• отражением в плоскости
• переносом
• центральной симметрией

_________ изображение — изображение, полученное центральным проектированием

Верны ли утверждения? А) При движении образом треугольника является равный ему треугольник, образом полуплоскости — полуплоскость В) Образом плоскости при движении является плоскость, причем параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости Подберите правильный ответ

• А — да, В — нет
• А — нет, В — нет
• А — да, В — да
• А — нет, В — да