Геометрия (8 кл. БП). Часть 1

Верно ли, что в прямоугольном треугольнике точки пересечения серединных перпендикуляров сторон, высот и медиан лежат на одной прямой? Ответьте «да», если верно, и «нет» в противном случае

Перпендикуляр к отрезку, проведенный через его середину, называется _____ перпендикуляром

• половинным
• средним
• равноудаленным
• серединным

Серединный перпендикуляр к стороне АВ равнобедренного треугольника ABC пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите основание АС треугольника, если периметр треугольника АЕС равен 27 см, а АВ = 1 8 см. Ответ: АС = _____ см

Верны ли утверждения? А) Если биссектрисы углов при основании АВ равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке М, то прямая СМ перпендикулярна к прямой АВ В) Если высоты АА1 и ВВ1 равнобедренного треугольника ABC, проведенные к боковым сторонам, пересекаются в точке М, то прямая МС — серединный перпендикуляр к отрезку АВ Подберите правильный ответ

• А — нет, В — да
• А — да, В — да
• А — нет, В — нет
• А — да, В — нет

Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его _____

Биссектрисы АА1 и ВВ1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите угол АСМ, если АМВ = 136°. Ответ: АСМ = _____°

Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника ABC пересекает сторону АС в точке D. Найдите АС, если BD = 11,4 см, AD = 3,2 см. Ответ: АС = _____ см

Стороны угла А касаются окружности с центром О радиуса r. Найдите АВ, если ОА = 14 см, A = 60°. Введите номер правильного ответа: 1) 7см; 2) 7см; 3) 14 см; 4) 7 см

В прямоугольном равнобедренном треугольнике высоты пересекаются в точке А, а серединные перпендикуляры в точке В. Найдите АВ, если катет равен 4см. Ответ: АВ = ________ см

Верны ли утверждения? А) Прямая, проходящая через середину отрезка, является множеством точек, каждая из которых равноудалена от концов этого отрезка В) Множество точек, каждая из которых лежит внутри неразвернутого угла и равноудалена от его сторон, является прямой, проходящей через вершину угла и делящей его пополам Подберите правильный ответ

• А — нет, В — нет
• А — нет, В — да
• А — да, В — да
• А — да, В — нет

От сторон неразвернутого угла равноудалена каждая точка его _____

• гипотенузы
• апофемы
• медианы
• биссектрисы

Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника ABC пересекает сторону АС в точке D. Найдите AC, если ВD = 5 см, AD = 3,5 см. Ответ: СD = _____ см

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника всегда пересекаются _____

• в одной точке
• в двух разных точках
• в одной из вершин треугольника
• в точках вне части плоскости, ограниченной треугольником

Стороны угла А касаются окружности с центром О радиуса r. Найдите r, если ОА = 14 дм, A = 90°. Введите номер правильного ответа: 1) 7дм; 2) 4дм; 3) 7 дм; 4) 3дм

Биссектрисы АА1 и ВВ1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите угол АСМ, если АМВ = 111°. Ответ: АСМ = _____°

В равностороннем треугольнике АВС медианы АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке М. Найдите МС, если ВС = 2см. Ответ: МС = _____ cм

Укажите соответствие между видом треугольника и свойством его серединных перпендикуляров

• равнобедренный треугольник
• ни один серединный перпендикуляр не проходит через вершину треугольника
• равносторонний треугольник
• каждый серединный перпендикуляр проходит через вершину треугольника
• прямоугольный (но не равнобедренный) треугольник
• только один серединный перпендикуляр проходит через вершину треугольника

Сторон угла О, равного 60°, касаются две окружности, имеющие одну общую точку. Радиус меньшей окружности равен 1 см. Найдите R – радиус большей окружности. Ответ: R = _____ cм

Верны ли утверждения? А) В равнобедренном треугольнике точки пересечения высот, биссектрис и медиан лежат на одной прямой В) В равнобедренном треугольнике точки пересечения серединных перпендикуляров сторон, биссектрис и медиан лежат на одной прямой Подберите правильный ответ

• А — нет, В — нет
• А — да, В — да
• А — да, В — нет
• А — нет, В — да

В треугольнике АВС с А = С = 45° проведены серединные перпендикуляры, пересекающиеся в точке М. Найдите ВМ, если АС = 8 см. Ответ: ВМ = ______ см

Стороны угла А касаются окружности с центром О радиуса r. Найдите r, если ОА = 16 см, A = 60°. Ответ: r = _____ см

Сторон угла О, равного 60°, касаются две окружности, имеющие одну общую точку. Радиус большей окружности равен 6 см. Найдите r – радиус меньшей окружности. Ответ: r = _____ cм

В равностороннем треугольнике АВС высоты АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке М. Найдите МВ, если АС = 12см. Введите номер правильного ответа: 1) 2 см; 2) 4см; 3) 3см; 4) 4см

В равностороннем треугольнике АВС биссектрисы АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке М. Найдите МС1, если АС = 12см. Введите номер правильного ответа: 1) 2см; 2) 4см; 3) 3см; 4) 4см

Точки пересечения биссектрис, высот и медиан совпадают в ______ треугольнике

• тупоугольном
• прямоугольном
• произвольном
• равностороннем

В треугольнике АВС с А = С = 70° и АС = 4 см проведены высоты АА1 и ВВ1, пересекающиеся в точке М. Найдите эти высоты и АМВ

• АМВ = 70°, АА1 = 2cos70°см, ВВ1 = 2sin70°см
• АМВ = 70°, АА1 = 4tg70°см, ВВ1 =2cos70°см
• АМВ = 110°, АА1 = 4tg70°см, ВВ1 = 2 sin70°см
• АМВ = 110°, АА1 = 4sin70°cм, ВВ1 = 2tg70°см

Из точки М биссектрисы неразвернутого угла О провели перпендикуляры МА и MB к сторонам этого угла. Найдите АВ, если ОМ = 2см, а угол О равен 60°. Ответ: АВ = _____ cм

Серединные перпендикуляры к сторонам равностороннего треугольника пересекаются _____

• вне части плоскости, ограниченной треугольником
• в точке пересечения его биссектрис
• в точке пересечения его медиан
• в точке пересечения его высот

Стороны угла А касаются окружности с центром О радиуса r. Найдите r, если ОА = 8 см, A = 90°. Введите номер правильного ответа: 1) 4см; 2) 8см; 3) 4 см; 4) 2см

Биссектрисы треугольника пересекаются _____

• в двух разных точках
• в одной из вершин треугольника
• в одной точке
• в точках вне части плоскости, ограниченной треугольником

Верны ли определения? А) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к катету, является его биссектрисой и высотой В) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины, противоположной основанию, является медианой и высотой Подберите правильный ответ

• А — да, В — да
• А — да, В — нет
• А — нет, В — да
• А — нет, В — нет

Укажите соответствие между утверждением и его отношением к теореме о серединном перпендикуляре к отрезку:

• следствие из теоремы
• каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему
• теорема
• каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка
• обратная теорема
• серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке

В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС с катетами, равными 4 см, из вершины прямого угла С на гипотенузу АВ опущена высота СD. Найдите расстояние от точки D до точки пересечения высот треугольника. Введите номер правильного ответа: 1) 16см; 2) 4см; 3) 8см; 4) 2см

Верны ли утверждения? А) Если биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника ABC пересекаются в точке О, то точка О является центром окружности, касающейся прямых АВ, ВС, АС В) Если из точки М биссектрисы неразвернутого угла О провести перпендикуляры МА и MB к сторонам этого угла, то АВ ОМ Подберите правильный ответ

• А — да, В — да
• А — нет, В — да
• А — да, В — нет
• А — нет, В — нет

В равностороннем треугольнике АВС биссектрисы АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке М. Найдите МВ1, если АВ = 2см. Ответ: МВ1= _____ cм

Высоты равностороннего треугольника _____

• пересекаются в одной точке
• пересекаются под углом 45°
• являются биссектрисами его углов
• являются его медианами

Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника ABC пересекает сторону АС в точке D. Найдите ВD, если АD = 5 см, AС = 12 см. Ответ: ВD = _____ см

Сторон угла О, равного 90°, касаются две окружности, имеющие одну общую точку. Радиус меньшей окружности равен 1 см. Найдите R – радиус большей окружности. Введите номер правильного ответа: 1) см; 2) см; 3) – 1 см; 4) + 1 см

В прямоугольном равнобедренном треугольнике высоты пересекаются в точке А, а серединные перпендикуляры в точке В. Найдите катет и гипотенузу треугольника

• катет = 4 см, гипотенуза = 4 см
• катет = 2 см, гипотенуза = 2 см
• катет = 2 см, гипотенуза = 4 см
• катет = 2см, гипотенуза = 4 см

Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника ABC пересекает сторону АС в точке D. Найдите AD, если ВD = 5 см, AС = 8,5 см. Ответ: АD = _____ см

Верны ли утверждения? А) Центры окружностей, касающихся сторон одного и того же угла, лежат на его биссектрисе В) Если в треугольнике ABC стороны АВ и АС не равны, то медиана AM треугольника не является высотой Подберите правильный ответ

• А — нет, В — да
• А — да, В — нет
• А — да, В — да
• А — нет, В — нет

Замечательными точками треугольника называются:

• точка пересечения медиан
• середины сторон треугольника
• точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам
• точка пересечения биссектрис
• точка пересечения высот (или их продолжений)

Из точки М биссектрисы неразвернутого угла О провели перпендикуляры МА и MB к сторонам этого угла. Найдите АВ, если АМ = 20 см, а угол О равен 120°. Ответ: АВ = _____ cм

Стороны угла А касаются окружности с центром О радиуса r. Найдите ОА, если r = 5 см, A = 60°. Ответ: АО = _____ см

Верны ли утверждения? А) Биссектрисы тупоугольного треугольника пересекаются в одной точке В) Серединные перпендикуляры сторон тупоугольного треугольника пересекаются в одной точке Подберите правильный ответ

• А — да, В -нет
• А — нет, В — нет
• А — нет, В — да
• А — да, В — да

Точка пересечения высот _____ треугольника находится вне треугольника

• прямоугольного
• равностороннего
• тупоугольного
• равнобедренного

В равностороннем треугольнике АВС со стороной 4 см проведены высоты АА1 и ВВ1. Найдите расстояние от точки пересечения высот до вершины А. Введите номер правильного ответа: 1) см; 2) см; 3) см; 4) см

Высоты любого треугольника (или их продолжения) пересекаются _____

• в одной точке
• в части плоскости, ограниченной треугольником
• в двух разных точках
• в трех разных точках

Укажите соответствие между видом треугольника и местоположением точки пересечения его высот

• остроугольный треугольник
• совпадает с одной из вершин
• тупоугольный треугольник
• лежит внутри треугольника
• прямоугольный треугольник
• лежит вне треугольника

В равностороннем треугольнике АВС проведены высоты ВВ1 и СС1. Найдите острый угол О пересечения прямых ВВ1 и СС1. Ответ: О = ________