Краткий курс теории вероятностей

Выигрыш в лотерее (в рублях) – случайная величина Х – задается таблицей распределения Куплено 3000 билетов. Среднее число билетов, выигравших 1 руб., равно (ответ – целое число)

Устройство представляет собой параллельное соединение элементов S1, S2, S3. Для функционирования устройства достаточно исправности хотя бы одного элемента. Событие А – «устройство работает правильно». Противоположное событие наступает, если

• все элементы неисправны
• хотя бы два элемента неисправны
• имеется неисправный элемент
• имеется исправный элемент

Из колоды вынимают 7 карт. Р1 – вероятность того, что 2 из этих карт – красной масти; Р2 – вероятность того, что 5 карты – черной масти

• Р1 = 2/7; Р2 = 5/7
• Р1 > Р2
• Р1 = Р2
• Р1 2

Устройство представляет собой последовательное соединение элементов S1, S2, S3, которые могут выйти из строя с вероятностями, соответственно, 0.02, 0.03, 0.07. При неисправности любого элемента функционирование схемы нарушается. Вероятность правильной работы устройства равна

• 1 – (0.02 + 0.03 + 0.07)
• (1 – 0.02) ∙ (1 – 0.03) ∙ (1 – 0.07)
• 1 – 0.02 ∙ 0.03 ∙ 0.07
• 0.02 ∙ 0.03 ∙ 0.07

Вероятность р(A) любого события A удовлетворяет следующему условию

• 0
• 0 ≤ р(A) ≤ 1
• может принять любое значение
• 0
• р(AB) = 0
• р(A + B) = 1
• р(AB) = р(A) ∙ р(B)
• р(AB) = р(A) + р(B)
• 15/128
• 15/64
• 21/128
• 21/64
• 1 – (1 – р1) ∙ (1 – р2) ∙ (1 – р3)
• 1 – р1 ∙ р2 ∙ р3
• 1 – (р1 + р2 + р3)
• (1 – р1) ∙ (1 – р2) ∙ (1 – р3)
• 1/24
• 1/20
• 1/60
• 1/30
• 0.5
• 0.954
• 0.34
• 0
• 7/6
• 1/2
• 1/2 + 1/3
• 5/8
• P2 > P1
• P1 > P2
• P1 = P2
• P1 ∙ P2 = 0
• 2/36
• 3/36
• 3/12
• 4/12
• 0
• 3/216
• 1/36
• 1/216
• 0.5
• 0
• 0
• 1
• 1 – (1 – р1) ∙ (1 – р2)
• 1 – р1 ∙ р2
• 1 – (р1 + р2)
• (1 – р1) ∙ (1 – р2)
• 0.6
• 0.4
• 6/7
• 1/6
• распределение Пуассона
• формулу Байеса
• интегральную формулу Муавра–Лапласа
• формулу полной вероятности
• 0.042
• 0.04
• 0.036
• 0.032
• р1 ∙ (1 – р2) + р2 ∙ (1 – р1)
• (1 – (р1 + р2)) ∙ р1 ∙ р2
• (1 – р1) ∙ (1 – р2)
• 1 – р1 ∙ р2
• 0.025
• 1/20
• 1/30
• 0.075
• (1 – р1) ∙ (1 – р2) ∙ (1 – р3)
• 1 – р1 ∙ р2 ∙ р3
• р1 ∙ р2 ∙ р3
• р1 + р2 + р3
• точно один выстрел из трех окажется успешным
• ни одна пуля не попадет в мишень
• все три выстрела окажутся успешными
• хотя бы один из трёх выстрелов окажется успешным
• 1/12
• 8
• 10
• 2
• -3
• 0.3
• 0.5
• 0.2
• 0.4
• 20 ∙ 0.44 ∙ 0.6
• 4 ∙ 0.44 ∙ 0.6
• 4 ∙ 0.4 ∙ 0.64
• 5 ∙ 0.44 ∙ 0.6
• «цифра на первой монете, герб на второй монете»
• «цифра на обеих монетах»
• «герб на первой монете, цифра на второй монете»
• «герб на обеих монетах»
• более одного раза
• один раз
• не более двух раз
• не менее двух раз
• A ∙ B
• 0.12
• A ∙ С
• 0.08
• В ∙ С
• 0.24
• 1/8
• 7/8
• 0.8
• 8/9
• р(AB) = р(A) / р(B)
• р(AB) = р(A) + р(B)
• р(AB) = р(A) ∙ р(B)
• р(AB) = р(B) / р(A)
• 0.01
• 0.04
• 0.02
• 0.03
• ∙ B
• происходят А и В
• A + В
• А происходит, В не происходит
• A ∙
• происходят А или В
• A ∙ B
• А не происходит, В происходит
• D(X) =
• M(X) = 3.2
• M(X) = 4
• D(X) = 0.8
• р1 + р2 + р3
• 1 – р1 ∙ р2 ∙ р3
• (1 – р1) ∙ (1 – р2) ∙ (1 – р3)
• р1 ∙ р2 ∙ р3
• (10 + 25) / (16 + 33)
• 10/16 + 25/33
• (10 + 25) / (6 + 8)
• 10/32 + 25/66

События A и B называются несовместными, если

• р(AB) = 0
• р(A + B) = 1
• р(AB) = р(A) ∙ р(B)
• р(AB) = р(A) + р(B)

Бросается 7 монет. Вероятность того, что выпадут 2 герба, равна

• 15/128
• 15/64
• 21/128
• 21/64

Страхуется 4000 автомобилей; вероятность того, что автомобиль в течение года потребует технического обслуживания, равна 0.3. Дисперсия числа автомобилей, требующих технического обслуживания, равна (укажите ответ с точностью до целых)

Устройство представляет собой параллельное соединение элементов S1, S2, S3, которые могут выйти из строя с вероятностями, соответственно, р1, р2, р3. Для функционирования схемы достаточно исправности хотя бы одного элемента. Вероятность правильной работы устройства определяется по формуле

• 1 – (1 – р1) ∙ (1 – р2) ∙ (1 – р3)
• 1 – р1 ∙ р2 ∙ р3
• 1 – (р1 + р2 + р3)
• (1 – р1) ∙ (1 – р2) ∙ (1 – р3)

Число грузовых машин, проезжающих мимо бензоколонки, относится к числу легковых машин как 2:1. В среднем одна из 20 грузовых и одна из 40 легковых машин останавливается для заправки. Вероятность того, что проезжающая машина будет заправляться, равна

• 1/24
• 1/20
• 1/60
• 1/30

Длину трубы измеряют рулеткой. Ошибка ξ измерения в миллиметрах имеет распределение N(15, 5). Вероятность p(ξ

0.5
0.954
0.34
0

• 0.5
• 0.954
• 0.34
• 0

Задана таблица распределения случайной величины: Вероятность р(X ≤ 3) равна

• 7/6
• 1/2
• 1/2 + 1/3
• 5/8

— дискретное распределение, причем p1 = 3p2 . Тогда p1 равно (укажите ответ с точностью до 0,01)

Случайная величина распределена равномерно на отрезке [-5, 15]. P1 – вероятность, что случайно брошенная точка попадет на отрезок [0, 4]. P2 – вероятность, что она попадет на отрезок [9, 13]. Тогда можно утверждать, что

• P2 > P1
• P1 > P2
• P1 = P2
• P1 ∙ P2 = 0

Проводится 8 одинаковых испытаний с вероятностью успеха 0,7 в каждом испытании. Среднее число успешных испытаний равно (укажите ответ с точностью до 0,1)

Бросают 2 кубика. Вероятность того, что сумма выпавших очков равна 10, составит

• 2/36
• 3/36
• 3/12
• 4/12

Бросают 3 кубика. Вероятность того, что сумма выпавших очков равна 18, составит

• 0
• 3/216
• 1/36
• 1/216

Вероятность р невозможного события равна

• 0.5
• 0
• 0
• 1

Два стрелка независимо стреляют по мишени. Вероятности попадания в мишень равны, соответственно, р1 и р2. Вероятность того, что хотя бы один из выстрелов окажется успешным, равна

• 1 – (1 – р1) ∙ (1 – р2)
• 1 – р1 ∙ р2
• 1 – (р1 + р2)
• (1 – р1) ∙ (1 – р2)

В ящике в 6 раз больше красных шаров, чем черных. Вероятность того, что вынутый наугад шар окажется красным, равна

• 0.6
• 0.4
• 6/7
• 1/6

Страхуется 1000 автомобилей; вероятность того, что автомобиль может попасть в аварию, равна 0,1. Для вычисления вероятности того, что число аварий не превзойдет 150, следует использовать

• распределение Пуассона
• формулу Байеса
• интегральную формулу Муавра–Лапласа
• формулу полной вероятности

Проводится 8 одинаковых испытаний с вероятностью успеха 0,45 в каждом испытании. Среднее число успешных испытаний равно (укажите ответ с точностью до 0,1)

60% деталей поступает на сборку с первого станка при доле брака 0.05, остальные — со второго при доле брака – 0.03. Вероятность того, что поступившая на сборку деталь окажется бракованной, равна

• 0.042
• 0.04
• 0.036
• 0.032

Два стрелка независимо стреляют по мишени. Вероятности попадания в мишень равны, соответственно, р1 и р2. Вероятность того, что ровно один выстрел окажется успешным, равна

• р1 ∙ (1 – р2) + р2 ∙ (1 – р1)
• (1 – (р1 + р2)) ∙ р1 ∙ р2
• (1 – р1) ∙ (1 – р2)
• 1 – р1 ∙ р2

Число грузовых машин, проезжающих мимо бензоколонки, относится к числу легковых машин как 1:2. В среднем одна из 20 грузовых и одна из 40 легковых машин останавливается для заправки. Вероятность того, что проезжающая машина будет заправляться, равна

• 0.025
• 1/20
• 1/30
• 0.075

Три стрелка независимо стреляют по мишени. Вероятности попадания в мишень равны, соответственно, р1, р2, р3. Вероятность того, что все три выстрела окажутся успешными, равна

• (1 – р1) ∙ (1 – р2) ∙ (1 – р3)
• 1 – р1 ∙ р2 ∙ р3
• р1 ∙ р2 ∙ р3
• р1 + р2 + р3

Вероятность р(A + B) суммы случайных событий A и B вычисляется по формуле

Три стрелка независимо стреляют по мишени. Вероятности попадания в мишень равны, соответственно, р1, р2, р3. Величина (1 – р1) ∙ (1 – р2) ∙ (1 – р3) равна вероятности того, что

• точно один выстрел из трех окажется успешным
• ни одна пуля не попадет в мишень
• все три выстрела окажутся успешными
• хотя бы один из трёх выстрелов окажется успешным

В лотерее 60 билетов, из них 10 выигрышных. Вероятность того, что два вынутых билета будут выигрышными, равна

• 1/12

Среднеквадратическое отклонение σ(Х) дискретного распределения может при некоторых p1 , p2 , p3 быть равным

• 8
• 10
• 2
• -3

Куплено 400 лотерейных билетов. 80 из них выиграли по 1 руб., 20 – по 5 руб., 2 – по 10 руб. Остальные – безвыигрышные. Средний выигрыш равен (укажите ответ с точностью до 0,1)

Задана таблица распределения случайной величины: равно

• 0.3
• 0.5
• 0.2
• 0.4

Стрелок попадает в цель в среднем в 4 случаях из 10. Вероятность 4 попаданий при 5 выстрелах равна

• 20 ∙ 0.44 ∙ 0.6
• 4 ∙ 0.44 ∙ 0.6
• 4 ∙ 0.4 ∙ 0.64
• 5 ∙ 0.44 ∙ 0.6

Бросают 2 монеты. На диаграмме Венна представлено соотношение между событиями А – «герб на первой монете» (левый полукруг) и В – «герб на второй монете» (нижний полукруг). Сектор, обозначенный символом 3, изображает событие

• «цифра на первой монете, герб на второй монете»
• «цифра на обеих монетах»
• «герб на первой монете, цифра на второй монете»
• «герб на обеих монетах»

Событие А – «при бросании трех монет не менее двух раз выпал герб». Противоположное событие наступает, если цифра выпала

• более одного раза
• один раз
• не более двух раз
• не менее двух раз

А, В, С – попарно независимые события; их вероятности: p(A) = 0.4, p(B) = 0.6, p(C) = 0.2. Укажите соответствие между событиями и их вероятностями

• A ∙ B
• 0.12
• A ∙ С
• 0.08
• В ∙ С
• 0.24

В ящике в 8 раз больше черных шаров, чем белых. Вероятность того, что вынутый наугад шар окажется черным, равна

• 1/8
• 7/8
• 0.8
• 8/9

События А и В независимы, если выполнено соотношение

• р(AB) = р(A) / р(B)
• р(AB) = р(A) + р(B)
• р(AB) = р(A) ∙ р(B)
• р(AB) = р(B) / р(A)

Три стрелка независимо стреляют по мишени. Вероятности попадания в мишень равны, соответственно, 0,6, 0,45, 0,4. Вероятность того, что все три выстрела окажутся успешными, равна (укажите ответ с точностью до 0,001)

Число грузовых машин, проезжающих мимо бензоколонки, относится к числу легковых машин как 3:2. В среднем одна из 60 грузовых и одна из 40 легковых машин останавливается для заправки. Вероятность того, что проезжающая машина будет заправляться, равна

• 0.01
• 0.04
• 0.02
• 0.03

Стрелок стреляет в мишень – квадрат со стороной 10 cм. Попадание в мишень – достоверное событие. Вероятность попасть в меньший квадрат со стороной 6 см, если попадание в любую точку мишени равновозможно, равна (укажите ответ с точностью до 0,01)

Х – случайная величина с дисперсией 1,7; Y = 2X – 10. Тогда D(Y) равна (укажите ответ с точностью до 0,1)

Событие С – результат операций над событиями А и В: «событие С происходит тогда и только тогда, когда…». Сопоставьте события и их обозначения

• ∙ B
• происходят А и В
• A + В
• А происходит, В не происходит
• A ∙
• происходят А или В
• A ∙ B
• А не происходит, В происходит

Для дискретной случайной величины Х, распределенной по закону, заданному таблицей выполнено

• D(X) =
• M(X) = 3.2
• M(X) = 4
• D(X) = 0.8

Устройство представляет собой последовательное соединение элементов S1, S2, S3, которые могут выйти из строя с вероятностями, соответственно, р1, р2, р3. При неисправности любого элемента функционирование схемы нарушается. Вероятность правильной работы устройства определяется по формуле

• р1 + р2 + р3
• 1 – р1 ∙ р2 ∙ р3
• (1 – р1) ∙ (1 – р2) ∙ (1 – р3)
• р1 ∙ р2 ∙ р3

Страхуется 2500 квартир; вероятность того, что квартира в течение года потребует ремонта, равна 0.64. Вероятность того, что число аварий m находится в диапазоне 1560 ≤ m ≤ 1640, равна

Стрелок попадает в цель в среднем в 8 случаях из 10. Вероятность 3 попаданий при 4 выстрелах равна (укажите ответ с точностью до 0,01)

Два стрелка независимо стреляют по мишени. Вероятности попадания в мишень равны, соответственно, 0,45 и 0,6. Вероятность того, что хотя бы один из выстрелов окажется успешным, равна (укажите ответ с точностью до 0,1)

В цехе 20 одинаковых станков. Вероятность выхода из строя каждого из них в течение года – 0,15. Среднее число выбывших станков равно (укажите ответ с точностью до 0,1)

В первом ящике 10 красных и 6 белых шаров; во втором – 25 красных и 8 белых. Из произвольного ящика достают один шар. Вероятность того, что он красный, равна

• (10 + 25) / (16 + 33)
• 10/16 + 25/33
• (10 + 25) / (6 + 8)
• 10/32 + 25/66