Математические методы в ИВТ (магистр. курс 1). Часть 1

Если на концах некоторого отрезка непрерывная функция принимает значения разных знаков и производная при этом не меняет знак, то на этом отрезке уравнение имеет

• ровно два корня
• два корня
• хотя бы один корень
• ровно один корень

Верны ли высказывания? А) Функция не убывает на промежутке, если В) Функция возрастает на промежутке, если

• A – нет, B — да
• A – да, B – да
• A – да, B — нет
• A – нет, B – нет

Изолированный корень уравнения – это

• корень, для которого существует окрестность, содержащая другие корни уравнения.
• корень, для которого не существует окрестности, не содержащей других корней уравнения.
• корень, для которого существует окрестность, не содержащая других корней уравнения.
• корень, для которого не существует окрестности, содержащей других корней уравнения.

Собственные значения матрицы А — это такие значения , для которых существует не ривиальное решение системы

Стационарность точки является _______ условием экстремума

• необходимым
• достаточным
• только достаточным
• необходимым и достаточным

Отделение корней уравнения – это.

• установление возможно малых промежутков [a, b], в которых содержится как максимум два корня уравнения
• установление возможно малых промежутков [a, b], в которых содержится один и только один корень уравнения
• установление возможно больших промежутков [a, b], в которых содержится один и только один корень уравнения
• установление возможно малых промежутков [a, b], в которых содержится, по крайней мере, один корень уравнения

В релаксационном методе решения системы нелинейных уравнений на каждом шаге минимизации функции происходит движение в направлении

• одной из координатных осей
• градиента
• противоположном градиенту
• линии постоянного уровня

Корнем уравнения или нулем функции f(х) называется всякое значение x, такое, что

Производная функции равна

Точки, где производная равна нулю, называются

• точками поворота
• точками перегиба
• стационарными
• точками равновесия

Графическое решение уравнения f(x) = 0 приближенно можно определить как

• точки смены знака производной
• ординаты точек пересечения графика функции у = f(х) с осью Ох
• ординаты точек пересечения графика функции у = f(х) с осью Оу
• абсциссы точек пересечения графика функции у = f(х) с осью Ох

Метод Зейделя решения систем линейных уравнений относится

• к симптотическим методам
• к итерационным методам
• к графическим методам
• к точным методам

Обратная к матрице матрица имеет вид

В методе скорейшего спуска решения системы нелинейных уравнений минимизируемая функция должна быть

• равна 0 в точке решения системы и меньше 0 во всех других точках
• равна 0 в точке решения системы и больше 0 во всех других точках
• равна 0 в точке решения системы и во всех других точках
• равна 1 в точке решения системы и равна 0 во всех других точках

Сущность этого метода итераций для нахождения корней уравнения заключается

• в замене уравнения равносильным уравнением
• в замене уравнения равносильным уравнением
• в замене уравнения равносильным уравнением
• в замене уравнения равносильным уравнением

Если на концах некоторого отрезка непрерывная функция принимает значения разных знаков, то на этом отрезке уравнение имеет

• ровно два корня
• ровно один корень
• хотя бы один корень
• два корня

Дана система нелинейных уравнений матрица производных , необходимая для решения системы методом Ньютона, имеет вид

Если непрерывная функция {х} принимает значения разных знаков на концах отрезка [a, b], то

• внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения f(х) = 0
• внутри этого отрезка содержится один корень уравнения f(х) = 0
• внутри этого отрезка не содержится корней уравнения f(х) = 0
• внутри этого отрезка содержатся два корня уравнения f(х) = 0

В методе скорейшего спуска решения системы нелинейных уравнений решается задача

• минимизации некоторой положительно определенной функции
• максимизации некоторой положительно определенной функции
• отыскания точек перегиба некоторой положительно определенной функции
• отыскания нулей некоторой положительно определенной функции

Определитель матрицы равен

• 7
• 2
• 3
• 1

Время, необходимое для решения линейной системы методом Гаусса, примерно пропорционально

• не зависит от числа неизвестных
• кубу числа неизвестных
• числу неизвестных
• квадрату числа неизвестных

Говорят, что функция f(x) имеет в точке х0 максимум, если эту точку можно окружить такой малой окрестностью , содержащейся в промежутке, где задана функция, что для всех ее точек х выполняется неравенство

Необходимым и достаточным условием применимости метода Гаусса является

• неравенство нулю всех правых частей системы
• неравенство нулю всех «ведущих элементов»
• равенство нулю всех «ведущих элементов»
• равенство нулю определителя системы

Пусть функция f{x) определена в промежутке [a, b] и имеет внутри него конечную производную. Для того чтобы f(x) была на [a, b] монотонно возрастающей, достаточно условия

Итерационная формула для решения системы нелинейных уравнений с матрицей и матрицей производных методом Ньютона имеет вид

Характеристический многочлен в задаче отыскания собственных значений квадратной матрицы А порядка n – это

• многочлен степени n относительно
• многочлен относительно n
• линейная функция относительно
• многочлен степени относительно

Способы решения систем линейных уравнений в основном разделяются на две группы: 1) _________, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы (таковы, например, правило Крамера, метод Гаусса, метод главных элементов метод квадратных корней и др.), и 2) ________, позволяющие получать корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов (к числу их относятся метод итерации, метод Зейделя, метод релаксации и др.)

• 1)точные методы 2)приближенные методы
• 1)точные методы 2)итерационные методы
• 1)точные методы 2)численные методы
• 1)графические методы 2)итерационные методы

В методе скорейшего спуска решения системы нелинейных уравнений на каждом шаге минимизации функции происходит движение в направлении

• возрастания
• линии постоянного уровня
• градиента
• противоположном градиенту

Алгебраическое уравнение n-й степени a0xn + a1xn-1 +…+ a0 = 0

• имеет не более n действительных корней
• имеет не менее n действительных корней
• имеет n действительных корней
• не имеет действительных корней

Экстремум следует искать только в точках

• стационарных
• равновесия
• поворота
• перегиба

Верны ли высказывания? А) Необходимое условие существования экстремума функции в точке . В) Достаточное условие существования экстремума функции в критической точке — при переходе через точку меняет знак

• A – нет, B — да
• A – нет, B – нет
• A – да, B — нет
• A – да, B – да

Для нахождения корня уравнения, принадлежащего отрезку [а, b] методом половинного деления на каждом шаге,

• приближенное значение корня делится пополам
• отрезок [а, b] делится пополам
• приближенное значение корня умножается на -1
• отрезок [а, b] не меняется

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений относится

• к точным методам
• к приближенным методам
• к графическим методам
• к итерационным методам

Итерационная схема приближения корню методом Ньютона выражается следующим уравнением

Для того чтобы решить систему n линейных уравнений с n неизвестными по формулам Крамера, нужно вычислить

• n+1 определителей n-го порядка
• n/2 определителей n-го порядка
• 2n определителей n-го порядка
• n+1 определителей n/2-го порядка

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой у = f(х)

• параболой, проведенной через 3 точки кривой
• нормалью к некоторой точке кривой
• касательной, проведенной в некоторой точке кривой
• прямой, проходящей через концы дуги

Верны ли высказывания? А) Точка экстремума функции f(x) — точка M(x0), в которой или не существует В) Стационарная точка функции f(x) – точка M(x0), в которой

• A – нет, B – нет
• A – нет, B — да
• A – да, B — нет
• A – да, B – да

Если производная при переходе через точку меняет знак плюс на минус, то значение будет ________ в некотором промежутке

• минимальным
• больше 0
• максимальным
• меньше 0

Итерационные методы решения систем линейных уравнений

• позволяют получать корни системы с заданной точностью путем сходящихся конечных процессов
• представляют собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы
• позволяют получать корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов
• представляют собой конечные алгоритмы для вычисления границ корней системы

Верными являются высказывания? А) Функция возрастает на промежутке, если В) Функция убывает на промежутке, если

• A – да, B — нет
• A – да, B – да
• A – нет, B – нет
• A – нет, B — да

Максимальное значение функции на интервале равно

• 1
• -1
• 5
• 10

Минимальное значение функции на интервале равно

• 0
• -2
• 2
• 1

Метод Ньютона особенно удобно применять тогда,

• когда в окрестности данного корня график функции параллелен оси ОУ
• когда в окрестности данного корня график функции параллелен оси ОХ
• когда в окрестности данного корня график функции имеет малую крутизну.
• когда в окрестности данного корня график функции имеет большую крутизну.

Собственные значения матрицы равны

Метод половинного деления практически удобно применять

• для грубого нахождения границ корней уравнения
• для грубого нахождения корня данного уравнения
• для точного нахождения корня данного уравнения
• для точного нахождения границ корней уравнения

Верными являются высказывания? А) Критическая точка f(x) — точка M(x0), в которой или не существует В) Стационарная точка функции f(x), в которой

• A – да, B — нет
• A – нет, B — да
• A – да, B – да
• A – нет, B – нет

Определитель матрицы равен

• 3
• 7
• 2
• 1

В методе скорейшего спуска решения системы нелинейных уравнений на каждом шаге минимизации функции происходит движение в направлении

• наиболее медленного возрастания функции
• наиболее медленного убывания функции
• быстрейшего возрастания функции
• быстрейшего убывания функции

Процесс отделения корней начинается с

• установления числа корней функции f(x)
• определение знака функции f(x) в середине области ее существования
• установления знаков функции f(x) в граничных точках х = а и х = b области ее существования
• установления знаков производной функции f(x) в граничных точках х = а и х = b области ее существования

Если корни уравнения не отделены на отрезке [а, b], то методом половинного деления

• можно найти все корни уравнения
• нельзя найти ни одного из корней уравнения
• можно найти только один из корней уравнения
• нельзя найти действительные корни уравнения