Математический анализ (курс 3). Часть 1

Касательная плоскость к сфере в точке имеет уравнение

Градиент функции в точке равен

Криволинейный интеграл от вектор-функции вдоль кривой , равен определенному интегралу

Скалярное поле, для которого данное векторное поле является градиентом, называется ___________ (вставьте слово) векторного поля

Неявная функция задана уравнением . Тогда частная производная равна

Частной производной функции z=f(x,y) в точке P0(x0,y0) называется число

Областью определения функции z= является множество

• внутренность эллипса с центром в точке О(0,0) и полуосями a=1, b=3

Градиент функции в точке равен

• 0

Область определения функции есть

• внутренность окружности с центром в точке (1,0) и радиуса 2.
• внутренность окружности центром в точке (2,3) и радиуса 1.
• внутренность эллипса (включая границу) с центром в точке О(0,0) и полуосями 2 и 3

Дана функция двух переменных . Тогда область определения этой функции изображена на рисунке …

Максимум функции при условии равен…

• 30,25
• 62
• 60,5
• 2,75

Производная скалярного поля z=3xy2 в направлении вектора в точке P0(0,1) равна

• 0

Если , то и равны

Функция z=4–x2–y2 имеет экстремум в следующей точке

• функции имеет максимум в точке (1,1)
• функция не имеет экстремума
• функция имеет минимум в точке О(0,0)
• функция имеет максимум в точке О(0,0)

-окрестностью точки на плоскости называется

• круг радиуса
• круг с центром в и радиуса , причем окружность круга не относится к -окрестности
• замкнутый круг
• замкнутый круг радиуса

Коэффициенты А и В в формуле для полного приращения дифференцируемой функции в точке P0(x0,y0) функции z=f(x,y) равны

Укажите соответствие между типом полей и их определением

• часть пространства (или всё пространство) каждой точке которого ставится в соответствие значение векторной функции
• скалярное поле
• скалярное или векторное поле, не зависящее от времени
• стационарное поле
• часть пространства (или всё пространство), каждой точке которого ставится в соответствие значение функции u=f(x,y,z)
• векторное поле

Областью определения функции является множество точек

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид …

Частная производная функции z=sin2(x–y) равна

• 2sin2(x–y)cos(x–y)
• –sin2(x–y)
• sin3(x–y)
• 2sin(x–y)cos(x–y)

Уравнение нормали к поверхности z=x2+y2 в точке M0(3,–1,10) имеет вид

• 6(x–3)–2(y+1)–(z–10)=0
• 6x–2y–z=0

Градиент функции обладает следующими свойствами

• в данной точке наибольшая скорость изменения функции происходит в направлении ее градиента.
• в каждой точке обласьти D, где задана функция и, значение градиента постоянно
• производная по направлению есть проекция градиента на это направление.
• градиент, построенный в точке P , перпендикулярен касательной к линии уровня функции u, проходящей через эту точку.

Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле , где D – треугольник с вершинами О(0,0), А(1,0), В(1,3)

Областью определения функции является

• точка
• вся плоскость , кроме точки
• вся плоскость

, где , . Тогда производная равна

Точка является точкой максимума функции , если

• найдется такая -окрестность , что значение больше любого значения , принятого в этой окрестности
• найдется такой интервал, содержащий , что значение больше любого значения , принятого в этом интервале
• значение больше всех значений функции

Укажите соответствия между формулами и их названиями.

• Формула Грина
• Формула Стокса
• Формула Остроградского-Гаусса

Достаточным условием минимума функции z=f(x,y) в точке P0(x0,y0) является

Градиент скалярного поля z=sin(xy) в точке P0(1,) равен

Областью определения функции является множество

• вся плоскость Oxy

Достаточным условием экстремума функции z=f(x,y) в точке P0(x0,y0) является

Областью определения функции z=ln(x2+y2) является множество

• вся плоскость XoY
• вся плоскость XoY, кроме точки О(0,0)

Найти производную неявной функции: в точке (3,4)

• 1

Градиент функции в точке (1,2,3) равен

Полным дифференциалом функции называется выражение

(Завершите определение, вставив два слова): Часть пространства (или всё пространство), каждой точке которого ставится в соответствие значение функции u=f(x,y,z), называется ___________

Полный дифференциал dz функции z= равен

. Тогда градиент в точке (3, 4) равен

Интеграл равен повторному интегралу

Полный дифференциал функции z=e2xy равен

• 2yexydx+2xexydy
• e2xydx+e2xydy
• 2xexydx+2yexydy
• 2exydx+2exy

Найти область определения функции:

• часть плоскости, удовлетворяющая условию y>x
• часть на плоскости, удовлетворяющая условию –xyx
• часть плоскости, примыкающая к оси Ох и заключенная между прямыми y=x, включая эти прямые и исключая начало координат

Производная функции в точке в направлении, задаваемом вектором , равна

• (, , , , – угол наклона вектора )

Производная неявной функции в точке P0(0,1) равна ___________ (указать число)

• не существует
• 1
• 0
• –1

Наибольшая скорость возрастания функции при переходе через точку (1, 2) равна

• 1

Частным приращением функции z=f(x,y) по переменной x в точке P0(x0,y0) называется число

Градиент скалярного поля u=exyz в точке M0(1,1,0) равен

Частная производная от функции z=excosy равна

• exsiny
• –excosy
• e2xcosy
• excosy

Приближенное значении (1,02)2,03 вычисленное с помощью полного дифференциала равно __________ (вставить число)

Для сложной функции z=arctg(x–y), x=2t, y=3t4 производная равна

Модуль градиента скалярного поля u=x+2y+2z в произвольной точке равен ___________ (вставить число)