Математический анализ (курс 3). Часть 1

Пусть — вполне непрерывный линейный оператор в банаховом пространстве , причем . Тогда: А) неоднородное уравнение имеет единственное решение для любого ; В) однородное уравнение имеет ненулевое решение. Какие выводы возможны:

• только А)
• и А), и В)
• либо А), либо В)
• только В)

Уравнение х(t) — ln(t2s – s3)x(s)ds = et является интегральным уравнением Вольтера _______ (какого?) рода (укажите порядок словом рода)

Какое условие на задано в определении сжатого отображения: сжатое отображение – отображение метрического пространства в себя, для которого существует , меньшее____________ (укажите ответ словом), такое, что для любых выполнено

Укажите, какие условия определяют линейность оператора : А) его область определения является подпространством в ; В) для любых ; С) для любых и любого числа ; D) для любых

• только A) и D)
• все
• одновременно A), B) и С)
• каждое из B),С) и D)

Интегральное уравнение х(t) — ln(t2s – s3)x(s)ds = et является интегральным уравнением Вольтерра _____________ (какого?) рода

Если , , то мера плоской области D равна …

Если , то любое нормированное пространство _________ одновременно метрическим пространством (заполните пробел для верного утверждения)

Применение алгоритма ортогонализации Грама-Шмидта к системе векторов u {1,1,0}, v {3,-7,-2} евклидова пространства R3 дает векторы u,w, причем вектор w равен

• {-5,2,5}
• {-5,2,-2}
• {-2,5,5}
• {5,-5,-2}

Норма элемента f(x) в пространстве L2 [a,b] определяется по формуле: = . Тогда норма элемента x в пространстве L2 [0,3] равна

• 3
• 20,25
• 4,5

Укажите предложения, относящиеся к функции Грина задачи Штурма–Лиувилля :

• эта функция является ядром интегрального оператора Фредгольма
• эта функция определяет интегральный оператор Фредгольма, являющийся обратным к оператору Штурма-Лиувилля
• эта функция существует и единственна тогда и только тогда, когда соответствующая однородная задача имеет только нулевое решение
• эта функция отвечает собственному значению задачи Штурма –Лиувилля

Расстояние от f(x) до g(x) в пространстве С[a,b] определяется по формуле: r(f(x),g(x)) = . Тогда расстояние между и в С[-1,3] равно ___________ (укажите целое число)

Скалярное произведение любых двух векторов ортогональной системы векторов равно _______ (укажите целое число)

Точка х Î А называется предельной для подмножества В Í А, если любая e-окрестность точки х содержит точку множества В, отличную от точки х. Тогда множеством предельных точек множества решений неравенства ex + 3x2y4 > 1 является множество решений

• ex + 3x2y4 ³ 1
• ex + 3x2y4 = 1
• ex + 3x2y4
• ex + 3x2y4 £ 1

Уравнение x(t) — x(s)ds = et является интегральным уравнением Фредгольма _____ (какого?) рода (укажите порядок словом)

Если j(х) является отображением отрезка [a,b] в себя и имеет непрерывную производную j¢(х) на отрезке [a,b], то коэффициент сжатия оценивается по формуле q = êj¢(х) ê. Тогда отображение j(х) = х3 отрезка [-0,5 ; 0,4] в себя является сжатым с коэффициентом сжатия _______ (укажите ответ в виде десятичной дроби)

Интегральное уравнение Фредгольма x(t) — lK(t,s)x(s)ds = y(t) c параметром l решается методом последовательных приближений при , где В = . Тогда интегральное уравнение Фредгольма x(t) — lt4s5x(s)ds = y(t) решается методом последовательных приближений при l, меньшем

• 5
• 3
• 2
• 2

Неравенство превращается в неравенство треугольника при , равном __ (укажите целое число)

Точка х Î А называется предельной для подмножества В Í А, если любая e-окрестность точки х содержит точку множества В, отличную от точки х. Установите соответствие между числовыми множествами и множествами предельных точек

• множество {: n = 1;2;3;…}
• Æ — пустое множество
• множество всех рациональных чисел
• [-1,+ ¥)
• множество (-1,+¥)
• (-¥,+ ¥)
• множество натуральных чисел
• {0}

Найти норму функционала , определенного на пространстве (укажите целое число)

Укажите соответствие между интегральным уравнением и его видом

• уравнение Абеля
• интегральное уравнение Фредгольма второго рода
• , ,
• интегральное уравнение Вольтерра второго рода

Пусть . Уравнение имеет решение, если интеграл равен ____ (укажите число)

Расстоянием от точки до множества называется число . Замыкание обозначается . Если , то

• =
• =
• =
• =0

Интегральное уравнение Фредгольма x(t) — lK(t,s)x(s)ds = y(t) c параметром l решается методом последовательных приближений при, где В = . Тогда интегральное уравнение Фредгольма x(t) — lsint×sins×x(s) ds = y(t) решается методом последовательных приближений при l, меньшем

• p

Завершите определение: совокупность всех открытых подмножеств множества называется____________ ( чем?) на множестве

Применение алгоритма ортогонализации Грама-Шмидта к системе векторов u {-1,0,1}, v{5,4,-3} евклидова пространства R3 дает векторы u,w, причем вектор w равен

• {1,4,1}
• {1,4,4}
• {4,1,1}
• {1,1,4}

Даны два множества , причем хотя бы одно из них открыто. Тогда их объединение —

• открытое множество, независимо открыто ли другое множество
• замкнутое множество, если замкнуто другое множество
• открытое множество только, если другое является его подмножеством
• открытое множество только, если открыто другое множество

Норма оператора , действующего в , равна _______ (укажите число)

Коэффициент ряда Фурье элемента f(x) = x по ортогональной системе 1, coskx, sinkx, k = 1,2,… пространства L2[-p,p] при sinx равен

• 1
• 4
• 0
• 2

Коэффициент ряда Фурье элемента f(x) = x по ортогональной системе 1, coskx, sinkx, k = 1,2,… пространства при sin2x равен ____ (укажите целое число)

Точка х Î А называется предельной для подмножества В Í А, если любая e-окрестность точки х содержит точку множества В, отличную от точки х. Множеством предельных точек множества {: n = 1;2;3;…} является

• {0;: n = 1;2;3;…}
• Æ — пустое множество
• {0}
• {: n = 1;2;3;…}

Замыканием множества в пространстве является …

Применение алгоритма ортогонализации Грама-Шмидта к системе векторов u {1,1,1,1}, v {3,3,-1,-1} евклидова пространства R3 дает векторы u,w, причем вектор w равен

• {-3,-3,1,1}
• {2,2,-2,-2}
• {-1,-1,-1,-1}
• {-2,-2,2,2}

Если j(х) является отображением отрезка [a,b] в себя и имеет непрерывную производную j¢(х) на отрезке [a,b], то коэффициент сжатия оценивается по формуле q = êj¢(х) ê . Тогда отображение j(х) = e 0,5x — 1 отрезка [-0,5;0,5] в себя является сжатым с коэффициентом сжатия

• 0,5
• 0,5

В линейном пространстве многочленов, рассматриваемых на отрезке положим = . Верно утверждение: а) это пространство нормировано; b) это пространство банахово

• b
• a
• оба верны
• оба неверны

Пусть комплексное гильбертово пространство. Оператор называется самосопряженным, если:

• для любых выполняется равенство
• он ограничен на всем
• он линеен и определен на всем
• существуют такие, что выполняется равенство

Многочлены Лежандра: Р0 = 1, Р1(х) = х, Р2 = (3х2 – 1). Разложение элемента f(x) = 3×2 +5x +1 по многочленам Лежандра имеет вид:

• f(x) = 2P0 + 5P1 + 2P2
• f(x) = 5P0 + 2P1 + 5P2
• f(x) = 3P0 + 5P1 + P2
• f(x) = P0 + 3P1 + 5P2

Норма интегрального оператора Фредгольма с квадратично интегрируемым ядром К(t,s) не превосходит числа В = . Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = t3s4 в пространстве L2[0,1] B равна

Пусть — метрика на множестве . Образуем некоторую новую функцию, которая может быть, а может и не быть метрикой. Если новая функция , то она ____________ метрикой (заполните пробел связкой)

Найти норму функционала , определенного на пространстве (укажите целое число)

Имеем линейное нормированное пространство и определенный на функционал является

• линейным
• непрерывным
• вполне непрерывным
• ограниченным

Вполне непрерывный оператор отображает каждое ограниченное подмножество в _____________ (какое?)

Среди функций, определенных на множестве всевозможных последовательностей действительных чисел, таких что , указать ту, которая не удовлетворяет аксиоме тождественности: , причем тогда и только тогда, когда

Пусть , . Задача о собственных значениях и собственных функциях данного оператора равносильна решению дифференциального уравнения . Установите соответствия между собственными значениями и собственными функциями

• ,
• ,
• ,

Укажите регулярные числа оператора А в евклидовом пространстве R2 A = :

• (-¥,-10) È (-10,3) È (3,+ ¥)
• (-¥;-) È (-; 0,1 ) È (0,1;+ ¥)
• (-¥,-3) È (-3,10) È (10,+ ¥)
• (-¥;-0,1) È (-0,1; ) È (;+ ¥)

Укажите возможные связки в теореме. Пусть оператор линейный. Тогда он непрерывен в : A) тогда и только тогда, когда он ограничен; B) когда банахово пространство; С) если он непрерывен в точке ; D) когда банахово пространство

• A)
• С) и D)
• А) и С)
• В) и D)

Целью процесса ортогонализации Грамма-Шмидта является построение

• системы линейно-независимых векторов
• системы векторов с единичным модулем
• системы векторов, скалярное произведение любых двух векторов которой, равно нулю
• ортогонального базиса пространства

Норма оператора на унитарном пространстве С3 определяется по формуле = max{,,}. Тогда норма оператора равна

• 5
• 4

Известно, что расстояние от точки линейного нормированного пространства до гиперплоскости находится по формуле . Если и , то равно

• 1
• 0
• 1/3
• 1/4

Косинус угла между элементами f(x) и g(x) в пространстве определяется по формуле: cos(f(x),g(x)) = ; (f(x),g(x)) = f(x)×g(x)dx ; = . Тогда косинус угла между элементами и 1 в пространстве равен ______ (укажите ответ в виде десятичной дроби)

Найдите норму линейного ограниченного оператора , (укажите число)