Математика (курс 14). Часть 1

Если ряд сходится условно, а и – ряды, составленные из его положительных и отрицательных членов соответственно, то

• и сходятся
• и расходятся
• сходится, а расходится
• расходится, а сходится

Формула Парсеваля имеет вид

Ряд Фурье по синусам функции на отрезке сходится к сумме

Коэффициент в разложении функции в тригонометрический ряд Фурье на отрезке равен

Сумма ряда непрерывна в точке , если

• функции , , имеют предел в точке , и ряд равномерно сходится на множестве
• функции , , непрерывны в точке , и ряд сходится на множестве
• функции , , непрерывны в точке , и ряд равномерно сходится на множестве
• ряд равномерно сходится на множестве

Число называется пределом числовой последовательности , если

• для любого положительного числа найдется зависящее от него натуральное число такое, что для всех номеров выполняется неравенство
• существует такое положительное число , что для всех натуральных чисел найдется номер , для которого выполняется неравенство
• существует такое положительное число , что для всех натуральных чисел найдется номер , для которого выполняется неравенство
• для любого положительного числа найдется зависящее от него натуральное число такое, что для всех номеров выполняется неравенство

Ряд можно почленно интегрировать по отрезку , если

• функции непрерывны на отрезке и ряд сходится на этом отрезке
• функции ограничены на отрезке и ряд равномерно сходится на этом отрезке
• функции непрерывны на отрезке и ряд равномерно сходится на этом отрезке
• ряд равномерно сходится на отрезке

Если ряд , сходится условно, и – его сумма, то

• можно переставить его члены так, что полученный ряд будет сходиться к любому заданному числу
• ряд, полученный произвольной перестановкой его членов, сходится и имеет сумму
• все ряды, полученные перестановками его членов, расходятся
• любой ряд, полученный перестановкой его членов, сходится абсолютно и имеет сумму

Гармоническим рядом называется ряд

Производные сложной функции , где и , находятся по формулам

Частная производная функции равна

Множество точек в называется открытым, если

• все его точки внутренние
• оно пусто
• оно содержит все свои предельные точки
• все его точки предельные

Предел равен

• 1
• 4
• 0

Число есть предел последовательности

Замкнутым кубом в с центром в точке и стороной длины называется множество точек , для которых

Ряд равномерно сходится на множестве, если

• ряд равномерно сходится на
• ряд сходится на , а функция ограничена на этом множестве
• ряд равномерно сходится на , а функция монотонна на этом множестве
• ряд равномерно сходится на , а функция ограничена на этом множестве

Коэффициент в разложении функции в тригонометрический ряд Фурье на отрезке равен

• 0

Частная производная функции равна

Ряд Фурье по синусам функции на отрезке сходится к сумме

Тригонометрическим рядом Фурье функции на отрезке называется ряд

• , где , , ,
• , где , , ,
• , где , , ,
• , где , , ,

Ряд можно почленно дифференцировать на отрезке , если

• функции непрерывно дифференцируемы на отрезке , ряд, составленный из их производных, равномерно сходится на этом отрезке, а ряд сходится хотя бы в одной точке
• функции непрерывно дифференцируемы на отрезке , ряд равномерно сходится на этом отрезке сходится, а ряд, составленный из их производных, сходится хотя бы в одной точке
• функции дифференцируемы на отрезке , ряд, составленный из их производных, равномерно сходится на этом отрезке, а ряд сходится хотя бы в одной точке
• функции непрерывно дифференцируемы на отрезке , ряд, составленный из их производных, сходится на этом отрезке, а ряд сходится хотя бы в одной точке

Число сочетаний из элементов по равно

Дифференциал функции равен

Точка называется предельной точкой множества , если

• существует открытый шар с центром в этой точке, полностью принадлежащий
• существует окрестность , содержащая хотя бы одну точку , отличную от
• существует открытый шар с центром в этой точке, не принадлежащий
• любая ее окрестность содержит хотя бы одну точку , отличную от

Если и , то ряд расходится при

Последовательность равномерно сходится на множестве к функции , если

Дифференциал функции равен

Справедливо утверждение о том, что если

• последовательность сходится, то любая ее подпоследовательность монотонна
• последовательность ограничена, то любая ее подпоследовательность сходится
• последовательность сходится, то и любая ее подпоследовательность сходится
• какая-нибудь подпоследовательность последовательности сходится, то и последовательность сходится

Предел равен

• 0
• 1

Градиент функции – это вектор с координатами

Тригонометрический ряд Фурье функции на отрезке сходится к сумме

Ряд сходится, если

• функция неотрицательна и непрерывна на полупрямой и интеграл сходится
• функция неотрицательна и монотонна на полупрямой и интеграл сходится
• функция неотрицательна и убывает на полупрямой и интеграл сходится
• функция неотрицательна и ограничена на полупрямой и интеграл сходится

Тригонометрический ряд Фурье функции на отрезке сходится к сумме

Частная производная функции равна

Рядом Лейбница называется ряд вида

• , где ,
• , где ,
• , где ,
• , где

Частная производная функции равна

Ряд Фурье по синусам функции на отрезке сходится к сумме

Справедливо равенство

Коэффициент в разложении функции в тригонометрический ряд Фурье на отрезке равен

Функция называется непрерывной в точке , если

• она определена в некоторой ее окрестности, кроме, быть может, самой точки , и имеет предел в точке
• она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке , и ее предел в точке равен ее значению в этой точке
• она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке , и имеет предел в точке
• она определена в точке , и ее предел в точке равен ее значению в этой точке

Ряд Фурье по косинусам функции на отрезке сходится к сумме

Справедливо утверждение о том, что

• функция , непрерывная на ограниченном замкнутом множестве , равномерно непрерывна на нем
• функция , непрерывная на замкнутом множестве , равномерно непрерывна на нем
• функция , непрерывная на множестве , равномерно непрерывна на нем
• функция , непрерывная на ограниченном множестве , равномерно непрерывна на нем

Если , то

• из сходимости ряда следует сходимость ряда
• ряды и сходятся и расходятся одновременно
• из сходимости ряда следует сходимость ряда
• из расходимости ряда следует расходимость ряда

Касательная плоскость к графику функции в точке определяется уравнением

Предел равен

• 0
• 1

Справедливо утверждение о том, что

• функция , непрерывная на ограниченном замкнутом множестве , монотонна на нем
• функция , непрерывная на ограниченном множестве , ограничена на нем
• функция , непрерывная на ограниченном замкнутом множестве , ограничена на нем
• функция , ограниченная на ограниченном замкнутом множестве , непрерывна на нем

Производные сложной функции , где , равны

Коэффициент в разложении функции в тригонометрический ряд Фурье на отрезке равен

• 0

Ряд Фурье по косинусам функции на отрезке сходится к сумме

Дифференциал функции имеет вид