Многомерные распределения и предельные теоремы. Часть 1

Двойным интегралом от функции по области называется предел интегральных сумм _________ , где — площадь области ,

Функция , заданная на множестве точек , непрерывна в точке , если

• функция определена в точке
• существуют и
• функция определена в точке и ее -окрестности

Частная производная функции равна

• 0

Частная производная функции равна

• 0

Стационарные точки функции

• (0,0,0)
• (-1,-1,-1)
• (1,2,-6)
• не существуют

Градиент функции в точке равен

• 0

Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области , дифференцируема во внутренних точках и имеет в единственный экстремум — максимум, то своего наименьшего значения она достигает

• во внутренней или граничной точке
• в другой точке внутри
• в граничной точке области
• в любой точке

Дифференциалы и принимаются равными приращениям аргументов и потому, что

• и — бесконечно малые
• и — б.м. высшего порядка
• дифференциал — главная часть приращения
• для функции будет и (для — аналогичное рассуждение)

Пространство — это

• множество всевозможных упорядоченных наборов из чисел (), называемых точками этого пространства
• в степени
• обобщение обычного пространства
• множество точек

, где , . Тогда производная равна

Производная функции в направлении вектора в точке равна

• 0

Неявная функция задана уравнением . Тогда производная равна

Точка является точкой максимума функции , если

• значение больше всех значений функции
• найдется такой интервал, содержащий , что значение больше любого значения , принятого в этом интервале
• найдется такая -окрестность , что значение больше любого значения , принятого в этой окрестности

Областью определения функции является множество

• — это открытая область, состоящая из точек под прямой

Областью определения функции является

• точка
• вся плоскость , кроме точки
• вся плоскость

и — стороны прямоугольника, — его площадь. Областью определения функции является множество

• вся плоскость
• вся плоскость, кроме точки

Двойной интеграл , где — область, ограниченная линиями , равен повторному

Множество точек плоскости называется открытой областью, если

• любые две точки и из можно соединить ломаной
• каждая точка является для нее внутренней
• каждая точка является внутренней для
• любые две точки и из можно соединить ломаной, состоящей из точек

Двойной интеграл , где — область, ограниченная линиями и , равен повторному

-окрестностью точки на плоскости называется

• круг радиуса
• замкнутый круг радиуса
• замкнутый круг
• круг с центром в и радиуса , причем окружность круга не относится к -окрестности

Двойной интеграл , где — область, ограниченная линиями и , равен повторному

Областью определения функции является множество

Замкнутая область — это

• замкнутый интервал
• множество, получающееся, если к открытой области присоединить все ее граничные точки
• множество всех граничных точек
• множество, ограниченное поверхностью

Частные приращения функции в точке равны

• и

Полный дифференциал функции в точке равен

• 0
• не определен

Функция

• имеет экстремум в точке (0,0)
• имеет максимум, равный 0
• не имеет экстремума
• имеет минимум, равный 0

Производная функции в точке (1,2) по направлению биссектрисы первого координатного угла равна

Коэффициенты и в формуле для полного приращения дифференцируемой в точке функции равны

• произвольные числа
• и — б.м. высшего порядка относительно

Стационарными точками функции будут

• (0,0)
• (1,0)
• (0,1)
• не существует

Интеграл равен

• 0
• 10
• 1
• -1

Градиент функции в произвольной точке равен

. Тогда градиент в точке (1,2) равен

Производная функции в точке в направлении, задаваемом вектором , равна

• (, , ; направляющие косинусы : , , )

Градиент функции в точке (1,2,3) равен

Стационарными точками функции будут

• (0,0)
• (2,-1)
• (1,-1)

Производная функции в направлении в точке равна

• 0

Градиент функции в точке равен

• 3
• 0

Полным дифференциалом функции в точке называется

Производная функции в точке в направлении, задаваемом вектором , равна

• (, , , , — угол наклона вектора )

Полный дифференциал функции равен

. Экстремумом этой функции будет

• две точки
• точка, где
• единственная точка — минимум
• точка — максимум

Касательная плоскость к сфере в точке имеет уравнение

Функция в точке (1,-4) имеет

• точку экстремума
• точку максимума
• стационарную точку
• точку минимума

Градиент функции в точке равен

Необходимым условием экстремума функции в точке является

• условие
• то, что больше или меньше всех значений функции
• равенство нулю частных производных , если они существуют в точке
• то, что производная в этой точке равна нулю

Частная производная функции равна

Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям основано на формуле

• ++

Градиент функции в точке равен

Частная производная функции равна

. Тогда градиент в точке (3,4) равен