Основные понятия математической статистики

Дана выборка объема n: х1, х2, …, хn. Выборочная средняя равна . Тогда статистический центральный момент k-го порядка находится по следующей формуле:

Величина x имеет распределение N(a, s). Вероятность p{|x — a|

0,977
0,997
0,023
0,954

• 0,977
• 0,997
• 0,023
• 0,954

Монету бросали 100 раз. 62 раза выпал орел; для проверки гипотезы о симметричности монеты строим 95%-ый доверительный интервал для р и проверяем, попали ли мы в него. Определите, по какой формуле строится доверительный интервал и что даст проверка в нашем конкретном случае

• , симметричная
• , симметричная
• , не симметричная
• , не симметричная

Для 2-х нормальных независимых величин с одинаковыми дисперсиями получены выборки объема nх = 42 и ny = 20 с такими характеристиками: . При уровне значимости a = 0.05 проверяется гипотеза о равенстве генеральных средних mx=my (конкурирующая гипотеза mx≠my). Область принятия гипотезы Н0, равна

• (-1.8, 1.8)
• (-2, 2)
• (-2.5, 2.5)
• (-3, 3)

Распределение выборки рабочих по времени, затраченному на обработку одной детали, приведено в таблице: Эмпирическое среднее времени, затрачиваемого на обработку одной детали, эмпирическая дисперсия и среднеквадратическое отклонение равны

• 7,4; 4,24; 2,06
• 7,1; 4,08; 2,02
• 7,442; 4,12; 2,03
• 7,5; 4,56; 2,14

Величина x имеет распределение N(a, s). Вероятность p{x

0,977
0,954
0,046
0,023

• 0,977
• 0,954
• 0,046
• 0,023

Результат пяти измерений равен 1, результат трех измерений равен 2 и результат одного измерения равен 3. Выборочное среднее и выборочная дисперсия соответственно равны

• ≈4,67; 0,89
• 2; 2,16
• ≈1,56; ≈0,47
• 2; 0,17

Дана выборка объема n = 5: -6, -4, 0, 4, 6. Выборочное среднее и выборочная дисперсия S2 равны

• = 0, S2 = 20,8
• = 1, S2 = 208
• = 0, S2 = 5,2
• = 0, S2 = 12

Дан вариационный ряд выборки объема n = 7: -5, -3, 0, 1, 1, 4, 16. Выборочная медиана d и выборочное среднее для этого ряда равны

• d = 1; = 1
• d = 2,5; = 1
• d = 1; = 2
• d = 5; = 2

Для упрощения счета из всех значений выборки вычли 1280. Эмпирическая дисперсия при этом

• не изменится
• уменьшится в 1280 раз
• уменьшится на 1280
• увеличится в 1280 раз

Случайная величина распределена «нормально с параметрами 3,2» — N[3,2]. Ее математическое ожидание и дисперсия

• MX=9; DX=2
• MX=0; DX=2
• MX=3; DX=4
• MX=3; DX=1

Для того, чтобы вдвое сузить доверительный интервал, построенный для математического ожидания, число наблюдений надо увеличить в ___ раз(а)

• 16
• 4
• 8
• 2

По выборке построена таблица статистического распределения выборки. Из приведенных таблиц возможна следующая:

Дана выборка объема n = 5: -2, -1, 1, 3, 4. Выборочное среднее и выборочная дисперсия S2 равны

Доверительный интервал для среднего считается по следующей формуле:

По выборке объема n из нормального распределения с известной дисперсией s2 строится доверительный интервал для математического ожидания. Объем выборки увеличиваем в 25 раз. В предположении, что величины и S2 при этом изменятся мало, длина доверительного интервала

• уменьшится в 5 раз
• уменьшится в 25 раз
• увеличится в 5 раз
• увеличится в 25 раз

Cмещенной точечной оценкой параметра является

• эмпирическое среднее
• эмпирическая дисперсия S2
• эмпирическая частота события m/n
• исправленная эмпирическая дисперсия s2

Дано статистическое распределение выборки: Выборочное среднее и выборочная дисперсия S2 равны

• = 0, S2 = 176
• = 0, S2 = 17,6
• = 1, S2 = 4,4
• = 1, S2 = 17,6

Формула D(-X) = D(X)

• неверна
• верна только для отрицательных Х
• верна
• верна только для положительных Х

Правильным является следующее соотношение:

• M(-2X) = -2M(X)
• M(-2X) = 4M(X)
• M(-2X) = 2M(X)
• M(-2X) = -4M(X)

Дан вариационный ряд выборки объема n = 10: -2, 0, 3, 3, 4, 5, 9, 11, 12, 15. Выборочная медиана для этого ряда -d равна

• 4,5
• 5
• 4
• 6

Дана выборка объема n = 7: 3, 5, -2, 1, 0, 4, 3. Вариационный ряд для этой выборки и размах вариационного ряда:

• 5, 4, 3, 3, 1, 0, -2; размах равен 7
• -2, 0, 1, 3, 3, 4, 5; размах равен 7
• 0, 1, 3, 4, 5, -2, 3; размах равен 5
• -2, 3, 3, 0, 1, 4, 5; размах равен 3

Для упрощения счета из всех значений выборки вычли 1280. Эмпирическое среднее при этом

• увеличится на 1280
• уменьшится на 1280
• не изменится
• уменьшится в 1280 раз

Производится выборка объема n = 100 из генеральной совокупности, имеющей распределение N(20,4). По выборке строится выборочное среднее . Эта случайная величина имеет распределение

• N(20; 0,04)
• N(20; 0,4)
• N(20; 4)
• N(0,2; 0,04)

Величина x имеет распределение N(a, s). Вероятность p{x

0,025
0,95
0,05
0,975

• 0,025
• 0,95
• 0,05
• 0,975

Для вероятности р по выборке объема n с помощью величены и таблиц нормального распределения строится доверительный интервал. Если увеличить объем выборки в 100 раз, длина доверительного интервала примерно

• уменьшится в 100 раз
• увеличится в 10 раз
• увеличится в 100 раз
• уменьшится в 10 раз

Формула M(X + Y) = M(X) + M(Y) верна

• только для отрицательных Х и Y
• только для независимых X и Y
• только для положительных Х и Y
• всегда

Дано статистическое распределение выборки с числом вариантов m: Выборочная средняя равна . Тогда выборочная дисперсия S2 находится по формуле

Проверяется гипотеза о том, что вероятность выиграть в рулетку 1/37. Доверительный интервал с уровнем доверия 95% строится по формуле , где , n — число испытаний, m — количество выигрышей. Чтобы отношение числа выигрышей m к числу n отличалось от 1/37 не более чем на 0,01, надо сделать ставок не меньше, чем

• 1052
• 33
• 100
• 2000

Случайная величина распределена равномерно на отрезке [0, 2]. Ее математическое ожидание и дисперсия равны

• 1; 1/3
• 1; 1/12
• 0,5; 1/12
• 0; 1/3

Дан вариационный ряд выборки объема n = 8: -2, 0, 3, 4, 6, 9, 12, 16. Выборочная медиана d и выборочное среднее для этого ряда равны

• d = 5; = 5
• d = 6; = 6
• d = 4; = 5
• d = 5; = 6

Случайные величины Х и Y независимы. Правильное соотношение следующее:

• s(x — h) = s(x) + s(h)
• s(x — h) = s(x) — s(h)

Дана выборка объема n = 5: 2, 3, 5, 7, 8. Выборочное среднее и выборочная дисперсия S2 равны

Случайная величина X распределена «нормально с параметрами 3,2» — N[3,2]. Вероятность для нее попасть внутрь интервала [-1,7] равна

• 0.9544
• 0.97
• 0.68
• 0.9973

Дана выборка объема n: х1, х2, х3, …, хn. Выборочное среднее находится по следующей формуле:

Вероятность выиграть, играя в рулетку, 1/37. Сделав ставку 100 раз, мы ни разу не выиграли. Заподозрив, что игра ведется нечестно, мы решили проверить свою гипотезу, построив 95%-ый доверительный интервал. Определите, по какой формуле строится интервал и что дала проверка в нашем случае

• , игра нечестная
• , игра нечестная
• , игра честная
• , игра честная

По выборке построена гистограмма Медиана равна

• 3
• 5
• 2
• 4

Выборочное распределение задано таблицей. Значение полигона в точке 1280 и мода, вычисленные по этой таблице, равны

• 25; 1280
• 50; 1280
• 25; 1275
• 5; 1300

Дано статистическое распределение выборки с числом вариантов m. Центральный момент k-ого порядка находится по формуле:

Автомашина пришла из Минска в Могилев со скоростью 40 км/ч и сразу же повернула обратно. Скорость ее на обратном пути была на 20 км/ч больше. Средняя скорость составила ___ км/ч

• 60
• 40
• 100
• 48

Дана выборка: 0, 5, 2, 8, 2, 6, 1, 5. Вариационный ряд для этой выборки и его размах следующие:

• 8, 6, 5, 5, 2, 2, 1, 0; размах выборки 8
• 0, 1, 2, 5, 6, 8; размах выборки 8
• 0, 1, 2, 2, 5, 5, 6, 8; размах выборки 8
• 0, 1, 2, 2, 5, 5, 6, 8; размах выборки 9

Для выборки объема n = 9 сосчитали выборочную дисперсию S2 = 3.86. Исправленная дисперсия равна

• 4.50
• 4.45
• 4.34
• 4.20

Известно, что X ~ N(0,3), Y ~ N(0.5, 2), Х и Y независимы. Случайная величина S = X + 2Y имеет распределение

• N(1, 4)
• N(1, 7)
• N(1, 5)
• N(0.5, 5)

Из генеральной совокупности извлечена выборка и составлена таблица эмпирического распределения: Точечная оценка генеральной средней составит

• 5
• 2
• 4
• 3

Для проверки гипотезы о равенстве 2-х генеральных средних надо пользоваться таблицами

• плотности нормального распределения
• пуассоновского распределения
• нормального распределения
• распределения Стьюдента

Если вероятность р некоторого события неизвестна, а для оценки этой вероятности производится n испытаний, то 95%-й процентный доверительный интервал для величины р находится по формуле (во всех формулах принято обозначение: )

По выборке построен доверительный интервал для генерального среднего. Оказалась, что генеральное среднее по такому объему выборки определяется с точностью 0,2. Чтобы повысить точность вдвое, объем выборки надо

• уменьшить в 2 раза
• увеличить в 2 раза
• увеличить в 8 раз
• увеличить в 4 раза

Для того, чтобы построить 95%-ый доверительный интервал для математического ожидания m случайной величины, распределенной нормально с известной дисперсией s2, по выборке объема n вычисляется и используется следующая формула:

Для того, чтобы по выборке объема n = 10 построить доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения, дисперсия которого неизвестна, нужны таблицы

• нормального распределения
• распределения Стьюдента
• плотности нормального распределения
• функции Лапласа

По выборке построена статистическая таблица распределения. Значение выборочной медианы

• d = 2,5
• d = 3,5
• для ее определения не хватает данных
• d = 1,5