Теория вероятностей и математическая статистика (курс 2). Часть 1

f(x,y) – плотность вероятности случайного вектора (X,Y), fX(x) и fY(y) – плотности вероятностей координат этого вектора, причем f(x,y) ≠ fX(x)× fY(y)

• D(X — Y)
• Не следует
• зависимость Х и У
• Следует
• некоррелированность Х и У
• DX + DY – 2cov(X,Y)

X – случайная величина, имеющая -распределения с 4 степенями свободы. DХ — ? Ответ дайте числом

Пусть две независимые случайные величины X и Y имеют дисперсии DX = 2 и DY = 3, тогда D(X + Y) равна

• 5
• 2,5
• 6
• 1

F(x,y) — функции распределения двумерной случайной величины (X,Y). F(5,-¥) — ? Ответ дайте числом.

cov(X,Y) — ковариация случайных величин X и Y; r(X,Y) – коэффициент корреляции случайных величин X и Y; X и Y независимы. Какие из утверждений верны?

• r(X,Y) = 0
• cov(X,Y) = 0
• r(X,Y) = 0,5
• cov(X,Y) = 1;

X и Y — две случайные величины МХ = 1, DX = 3, МУ = 2, DY = 4, cov(X,Y) = -1 D(2Х — 3У) — ? Ответ дайте числом.

MX = 2, DX = 3; MY = 1, DY = 2; X и У независимы

• М(X + Y)
• 5
• D(X – 2Y)
• 11
• D(X + Y)
• 3

Электростанция обслуживает сеть, в которой 2000 ламп, вероятность включения каждой из них в зимний вечер равна 0,8. Вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет более 1800, можно определить при помощи

• теоремы Хинчина
• неравенства Чебышева
• теоремы Муавра-Лапласа
• теоремы Пуассона

Если случайные величины независимы, то ковариация равна

• 1
• -1
• ¥
• 0

cov(X,Y) — ковариация случайных величин X и Y r(X,Y) – коэффициент корреляции случайных величин X и Y

• D(X + Y)
• M[(X – mx)(Y – my)]
• r(X,Y)
• cov(X,Y)
• DX + DY + 2cov(X,Y)

Если случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью Y = aX + b, (где , – любое), то коэффициент корреляции равен

• 0
• -1
• 2
• 1

Проводим 100 испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании р = 0,5. S100 – число успехов. Ф(х) =

• P{S100 ³ 60}
• Ф(2)
• P{ S100 £ 50}
• 0,5
• P{ S100 £ 60}
• 1 – Ф(2)

f(x,y) – плотность вероятности непрерывного случайного вектора (X,Y),

• r(X,Y)
• -1
• f(x,y)
• Î [0;¥]
• r(X,-2Х + 5)
• Î [-1;1]

Cлучайные величины X и Y независимы; Какие из утверждений всегда верны

• D(2X + 3Y) = 2DX + 3DY
• D(2X + 3Y) = 4DX + 9DY
• D(2X — 3Y) = 4DX + 9DY
• D(2X — 3Y) = 2DX — 3DY

Состав исправных (состояние ) и требующих ремонта (состояние ) машин в автопарке в начале года определяется соотношением , а вероятности переходов между этими состояниями по истечении года характеризуются матрицей Тогда в конце года (или в начале следующего года) соотношение k будет равно …

Формула для коэффициента корреляции r(X,Y) имеет вид

Случайные величины X и У независимы f(x,y) – плотность вероятности непрерывного случайного вектора (X,Y), fX(x) и fY(y) – плотности вероятностей координат этого вектора

• D(X — Y)
• MX + MY
• f(x,y)
• fX(x)× fY(y)
• M(X + Y)
• DX + DY

Х — случайная величина, МХ = 2, DX = 2. По неравенству Чебышева P{çX – 2ú ³ 2} £ ? Ответ дайте дробью в виде a/b

Случайные величины X и Y называют независимыми, если функция распределения F(x,y) вектора (X,Y) может быть представлена в виде F(x,y) = FX(x) ? FY(y) Ответ дайте в виде x, +, – , :

X и Y — две независимые случайные величины МХ = 1, DX = 3, МУ = 2, DY = 4 D(2Х — 3У) — ? Ответ дайте числом.

Случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью Y = aX + b; r(X,Y) – коэффициент корреляции случайных величин X и Y; Какие из утверждений верны?

• r(X, 5X + 5) = 1
• r(X, 5X + 10) = 1
• r(X,5X + 5) = 5
• r(X,Y) = 0

Берём 100 деталий. Вероятность детали быть бракованной равна 0,02. Х – число бракованных деталей.

• P{ Х = 0}
• 1 –
• P{ Х £ 5}
• P{ Х > 2}
• e-2

Дискретные случайные величины X и Y независимы, F(x,y) — функция распределения двумерной случайной величины (X,Y) FX(x) – одномерная функция распределения случайной величины X FY(y) – одномерная функция распределения случайной величины У pij — вероятности, определяющие закон распределения двумерной дискретной случайной величины (Х,У). i = 1,2,…,m j = 1,2,…,n

• FX(x)×FY(y)
• pij
• P{X = xi}×P{Y = yj}
• F(x,y)
• 1

F(x,y) — функция распределения двумерной случайной величины. Какие из утверждений верны

• С) F(+¥, 0) = 1
• F(0,-¥) = 0
• F(-¥,0) = 0
• F(0,+¥) = 1

Z = X + Y Какие из утверждений всегда верны

• D(X + Y) = DX + DY;
• M(X + Y) = MX + MY;
• D(X + Y) = DX × DY
• D(X + Y) = DX + DY + 2cov(X,Y);

pij — вероятности, определяющие закон распределения двумерной дискретной случайной величины равна ____ (ответ дайте числом)

Случайные величины X и Y называют независимыми, если функция распределения вектора (X,Y) F(x,y) может быть представлена в виде

• F(x,y) = FX(x) + FY(y)
• F(x,y) = FX(x)×(FY(y))-1
• F(x,y) = FX(x)×[1 — FY(y)]
• F(x,y) = FX(x)×FY(y)

MX = 2, DX = 3; MY = 1, DY = 2; cov(X,Y) = 0;

• М(2X + Y)
• 3
• D(2X + Y)
• 14
• М(2X – Y)
• 5

X и Y — две случайные величины МХ = 1, DX = 3, МУ = 2, DY = 4, cov(X,Y) = -1 D(2Х + 3У) — ? Ответ дайте числом.

X и Y — две случайные величины МХ = 1, DX = 3, МУ = 2, DY = 4, cov(X,Y) = -1 D(Х — У) — ? Ответ дайте числом.

Значение функции распределения F(-¥, y) есть

• 1
• 0
• 0,5
• — ¥

Случайная величина X имеет математическое ожидание mX и дисперсию . Тогда вероятность того, что величина X отклонится от своего математического ожидания не менее чем на 5sX, P{çX — mX ç ³ 5sX } имеет оценку сверху

• 0,04
• 0,25
• 0,5
• 0,2

Берём 100 деталий. Вероятность детали быть бракованной равна 0,03. Х – число бракованных деталей.

• P{ Х = 2}
• e-3
• P{ Х = 1}
• 3×e-3
• P{ Х = 0}
• 4,5×e-3

Дана матрица переходных вероятностей Марковской системы Тогда граф состояний этой системы имеет вид …

MX = 2, DX = 3; MY = 1, DY = 2; cov(X,Y) = 1;

• D(X – Y)
• 7
• М(2X + Y)
• 5
• D(X + Y)
• 3

Имеем однородную цепь Маркова с двумя состояниями H1 и Н2. Матрица переходных вероятностей (pij) = . Р1 и Р2 — стационарные вероятности. Р2 — ? Ответ дайте в виде дроби a/b

f(x,y) — плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины. равен

• 2
• 0,5
• 1
• 0

Имеем однородную цепь Маркова с двумя состояниями H1 и Н2. Матрица переходных вероятностей (pij) = . Р1 и Р2 — стационарные вероятности. Р1 — ? Ответ дайте в виде дроби a/b

Имеем однородную цепь Маркова с двумя состояниями H1 и Н2. Матрица переходных вероятностей (pij) = . Р1 и Р2 — стационарные вероятности. Какие из утверждений верны

• Р1 =
• Р1 =
• Р2 =
• Р2 =

f(x,y) — плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины. равен ____ (ответ дайте числом)

Берём 100 деталий. Вероятность детали быть бракованной равна 0,03. Х – число бракованных деталей.

• P{ Х £ 5}
• 1 –
• P{ Х = 0}
• e-3
• P{ Х > 2}

Случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью Y = aX + b; r(X,Y) – коэффициент корреляции случайных величин X и Y; Какие из утверждений верны?

• r(X, X — 5) = -1
• r(X, X – 5) = 1
• r(X, -X + 5) = 1
• r(X, -X + 5) = -1

X и Y — две независимые случайные величины МХ = 1, DX = 3, МУ = 2, DY = 4 D(2Х + 3У) — ? Ответ дайте числом.

X и Y — некоррелированные случайные величины. Тогда

• Х и У могут быть зависимы
• Х и У могут иметь коэффициент корреляции равным 0,5
• r(X,Y) = 0;
• Х и У всегда независимы;

F(X,Y) — функции распределения двумерной случайной величины (X,Y). F(+¥,+¥) — ? Ответ дайте числом.

(aij) — ковариационная матрица 3х3 случайного вектора (X1,X2,X3) X1,X2,X3 — независимы

• a11
• DX3
• a12
• 0
• а33
• DX1

Случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью Y = aX + b; r(X,Y) – коэффициент корреляции случайных величин X и Y; Какие из утверждений верны?

• r(X, 5X – 5) = 1
• r(X, -5X + 5) = 1
• r(X, -5X + 5) = -1
• r(X, 5X — 5) = 5

Если X1 и X2 независимые случайные величины, то характеристическая функция их суммы равна

Значение функции распределения F(x, — ¥) есть

• 0,5
• 1
• — ¥
• 0

F(x,y) – функция распределения двумерной случайной величины (Х,У); FX(x) – функция распределения случайной величины Х; FУ(x) – функция распределения случайной величины У; Х и У зависимы Какие из утверждений верны?

• F(x,y) = FX(x)×FY(y)
• F(x,y) = FX(x) + FY(y)
• F(+¥,+¥) = 1
• F(x,y) ≠ FX(x)×FY(y)