Теория вероятностей и математическая статистика (курс 2). Часть 1

Функция распределения случайной величины

• постоянна
• убывает
• не убывает
• не возрастает

По выборке построена таблица статистического распределения выборки. Из приведенных таблиц возможна следующая:

Наблюдения проводились над системой (х, у) двух величин. Результаты наблюдения записаны в таблицу Коэффициент корреляции равен

• =0
• =1
• =-1/3
• =-1

Дана выборка объема n: х1, х2, …, хn. Если каждый элемент выборки увеличить на 5 единиц, то

• выборочное среднее не изменится, а выборочная дисперсия S2 увеличится на 5
• выборочное среднее увеличится на 5, а выборочная дисперсия S2 не изменится
• выборочное среднее увеличится на 5, а выборочная дисперсия S2 увеличится тоже на 5
• выборочное среднее увеличится на 5, а выборочная дисперсия S2 увеличится на 25

Если случайные величины независимы, то ковариация равна

• 1
• -1
• 0

Для упрощения счета из всех значений выборки вычли 1280. Эмпирическая дисперсия при этом

• уменьшится на 1280
• увеличится в 1280 раз
• не изменится
• уменьшится в 1280 раз

В одноканальной системе с отказами, интенсивностью m потока обслуживания и l — потока заявок показатели эффективности работы системы массового обслуживания таковы: относительная пропускная способность a равна

Ковариационная функция случайного процесса X(t) определяется формулой

• B(t, s) = cov[X(t), X(t)2]
• B(t, s) = cov[X(t), X(s)]
• B(t, s) = cov[X(t — s), X(t + s)]
• B(t, s) = cov[X(t), X(t + s)]

Условная функция распределения случайной величины при условии есть

Пусть имеются две независимые выборки, произведенные из генеральных совокупностей с неизвестными теоретическими функциями распределения F1(x) и F2(x). Проверяемая нулевая гипотеза имеет вид Н0: F1(x)=F2(x) против конкурирующей Н1: F1(x)≠F2(x). Будем предполагать, что функции F1(x) и F2(x) непрерывны. Для проверки нулевой гипотезы по критерию Колмогорова-Смирнова используется статистика

• ,где Fn1(x) и Fn2(x) — эмпирические функции распределения, построенные по двум выборкам объемов n1 и n2
• ,где Fn1(x) и Fn2(x) — эмпирические функции распределения, построенные по двум выборкам объемов n1 и n2
• ,где Fn1(x) и Fn2(x) — эмпирические функции распределения, построенные по двум выборкам объемов n1 и n2
• ,где Fn1(x) и Fn2(x) — эмпирические функции распределения, построенные по двум выборкам объемов n1 и n2

Для однородного марковского процесса плотности вероятностей перехода

• не зависят от
• зависят от разности (для любых моментов времени)
• зависят от
• обладают свойством

Имеется система масcового обслуживания с неограниченной очередью, n — число каналов, l — интенсивность потока заявок, m — интенсивность потока обслуживания, r — загрузка системы, pn — вероятность того, что заняты все каналы и нет очереди; тогда абсолютная пропускная способность

• A = l
• A = l + m
• A = m
• A = r

Оценка для математического ожидания m стационарного случайного процесса, если известна реализация процесса x(t), при t Î [0; T], и имеет вид

По теореме Муавра-Лапласа вероятность неравенства при больших вычисляется следующим образом:

В таблице статистического распределения, построенного по выборке, одна цифра написана неразборчиво. Это цифра:

• х = 3
• х = 2
• х = 4
• х = 5

При проверке гипотезы об однородности двух выборок по критерию Колмогорова-Смирнова максимальная разница между эмпирическими распределениями оказалась равной 0,1. Число испытаний равно для обеих совокупностей n. Укажите значения n и вывод на уровне 0,05 о правильности гипотезы, не противоречащие друг другу:

• n=200, гипотеза не проходит
• n=200, гипотеза прoходит
• n=500, гипотеза прoходит
• n=100, гипотеза не прoходит

Случайная величина Х распределена нормально с плотностью ее мода и медиана равны соответственно

• 4; 4
• 2; 4
• 2; 2
• 4; 2

Если поток — простейший с интенсивностью l, то среднее число событий, наступающих за время t, вычисляется по формуле

• MX(t) =
• MX(t) = e-lt
• MX(t) =
• MX(t) = l × t

Конечномерным распределением случайного процесса в моменты t1, …, tn называется распределение многомерной случайной величины, составленной в моменты t1, …, tn из

• математических ожиданий
• дисперсий
• траекторий
• сечений

Случайная величина Х равномерно распределена на . Тогда вероятность попасть в интервал будет равна

Случайный процесс с непрерывным временем — это семейство случайных величин , где

• изменяется от до
• каждая случайная величина — непрерывна на некотором отрезке
• каждая случайная величина — непрерывна
• изменяется на некотором интервале (конечном или бесконечном)

Проведено 10 измерений и по ним вычислена эмпирическая дисперсия S2=4,5. Несмещенная оценка для генеральной дисперсии равна

• 5,06
• 4,05
• 5
• 1,5

Случайная величина Х имеет нормальное распределение с плотностью распределения . Тогда ее числовые характеристики МХ, DX и равны соответственно

• 36; 1: 6
• 1; 6; 36
• 1; 36; 6
• 6; 1; 1

Вероятность попадания в десятку для некоторого стрелка равна 0,7. Стрелок стреляет дважды по мишени. Вероятность того, что стрелок попадает дважды, равна

• 0,3
• 0,49
• 0,5
• 0,21

Для обработки наблюдений методом наименьших квадратов построена прямая. Какой из графиков верный?

Имеется система масcового обслуживания с неограниченной очередью, n — число каналов, l — интенсивность потока заявок, m — интенсивность потока обслуживания, r — загрузка системы, pn — вероятность того, что заняты все каналы и нет очереди; тогда среднее время ожидания в очереди

Из каждых десяти билетов выигрышными являются два. Вероятность того, что среди пяти купленных наудачу билетов окажется два выигрышных, равна

Математическое ожидание и дисперсия -распределения с n степенями свободы равны соответственно

Случайная величина Х распределена равномерно, ее плотность равна Тогда параметр равен

• 2
• 0,2
• 1

Дано статистическое распределение выборки с числом вариантов m. Центральный момент k-ого порядка находится по формуле:

Частота события сходится по вероятности к его вероятности при увеличении числа опытов

• если выполнены условия теоремы Чебышева
• если событие рассматривается в схеме Бернулли
• всегда
• если вероятность стремится к нулю

Для проверки гипотезы о виде распределения применяется статистика , имеющая распределение χ2 , число степеней которого равно

• m — 2 (число заменяемых параметров равно 2)
• mn — n, где m — число слагаемых, n — объем выборки
• m — r — 1, где m — число слагаемых, а r — число параметров распределения, замененных на эмпирические значения
• m — 1, где m — число слагаемых

Входящим потоком называется множество моментов

• времени между поступлением и началом обслуживания требований
• окончания обслуживания поступивших требований
• поступления требований в систему
• начала обслуживания поступивших требований

Распределение выборки рабочих по времени, затраченному на обработку одной детали, приведено в таблице: Эмпирическое среднее времени, затрачиваемого на обработку одной детали, эмпирическая дисперсия и среднеквадратическое отклонение составляют соответственно

• 7,4; 59; 7,68
• 740; 424; 206
• 7; 57; 7,55
• 7,4; 4,24; 2,06

Для построения эмпирических прямых регрессии применяют метод

• минимакса
• наименьших квадратов
• χ2
• моментов

Если события А и В несовместны, то для них справедливо равенство

• Р(А) =1
• Р(А) + Р(В) = 1
• Р(А + В) = Р(А) Р(В)
• Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Формула для коэффициента корреляции имеет вид

Если и независимые случайные величины, то характеристическая функция их суммы равна

Среднее время возвращения в состояние в цепи Маркова равно

• , где — предельная вероятность состояния , — среднее время пребывания в состоянии
• , где — предельная вероятность состояния
• , здесь — предельная вероятность, а — вероятность находится в начальный момент времени в состоянии
• , где — вероятность находится в начальный момент времени в состоянии

В управляемом марковском процессе стратегию образуют (образует)

• последовательность значений переходных функций
• совокупность траекторий управляемого случайного процесса
• совокупность решений, принимаемых на каждом шаге управления
• решения, принимаемые в начале процесса управления

Всхожесть семян некоторого растения равна 0,8. Тогда вероятность того, что из 1000 посаженных семян число проросших будет заключено между 750 и 850, можно определить с помощью

• теоремы Маркова
• теоремы Муавра-Лапласа
• неравенства Чебышева
• теоремы Чебышева

Вероятность того, что студент сдаст экзамен по математике, равна 0,5, а экзамен по иностранному языку — 0,6. Вероятность того, что он сдаст хотя бы один экзамен, равна

Дана выборка объема n = 7: 3, 5, -2, 1, 0, 4, 3. Вариационный ряд для этой выборки и размах вариационного ряда:

• 5, 4, 3, 3, 1, 0, -2; размах равен 7
• -2, 0, 1, 3, 3, 4, 5; размах равен 7
• -2, 3, 3, 0, 1, 4, 5; размах равен 3
• 0, 1, 3, 4, 5, -2, 3; размах равен 5

Проверяется гипотеза о том, что вероятность выиграть в рулетку 1/37. Доверительный интервал с уровнем доверия 95% строится по формуле , где , n — число испытаний, m — количество выигрышей. Чтобы отношение числа выигрышей m к числу n отличалось от 1/37 не более чем на 0,01, надо сделать ставок не меньше, чем

• 33
• 100
• 2000
• 1052

Плотность распределения непрерывной случайной величины является

• неположительной
• неотрицательной
• ограниченной единицей
• знакопеременной

Математическое ожидание дискретной случайной величины — это

Системы массового обслуживания предназначены для многократного проведения некоторой однотипной элементарной операции, которая называется операцией

• развития
• действия
• обслуживания
• ожидания

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей плотность распределения , равны

• 2; 1
• 0; 5
• 2; 5
• 2; 25

Распределение выборки рабочих по времени, затраченному на обработку одной детали, приведено в таблице: Эмпирическое среднее времени, затрачиваемого на обработку одной детали, эмпирическая дисперсия и среднеквадратическое отклонение равны

• 7,5; 4,56; 2,14
• 7,4; 4,24; 2,06
• 7,1; 4,08; 2,02
• 7,442; 4,12; 2,03

Утверждение

• верно всегда
• верно, если — попарно независимы и для всех
• верно, если независимы
• неверно