Теория вероятностей и математическая статистика (курс 2)

События А и В независимы и Р(А)=0,2, Р(В)=0,6. Укажите соответствие между формулой события и значением вероятности этого события

• А+В
• 0,2
• В
• 0,12
• АВ
• 0,48
• А+А
• 0,68

На отрезке [0; 2] берем случайную точку Т. Вероятность того, что точка Т окажется ближе к центру отрезка, чем к какому-нибудь его концу, равна (ответ – десятичной дробью)

На 30 карточках написаны номера 1,2,…,30. Из них наугад берем одну карту. Вероятность того, что вынуто четное число, меньшее 20, равна

• 1/4
• 3/10
• 1/3
• 1/2

Пусть случайная величина Х имеет равномерное распределение на [0; 2], т.е. её плотность вероятности равна числу 0,5 на отрезке [0;2] и 0 вне его. Вероятность P{0,5

• 0,2
• 0,75
• 1
• 0,6

В некотором опыте вероятности событий А, В и А+В таковы: P{А}=1/2, P{В}=1/2, P{А +В}=2/3. Тогда события А и В

• совместны
• достоверны
• независимы
• противоположны

Есть две урны. В каждой 8 шаров. В первой 3 белых и 5 черных шара, во второй белых и черных шаров поровну. Опыт – вытаскивание двух шаров: по одному шару из каждой урны. Вероятность вынуть два белых шара равна

• 5/8.
• 3/16
• 3/8
• 1/2

На плоскости хОу даны три точки (хi,yi): (1,2), (2,1) и (3,3). Уравнение прямой, найденной по этим точам методом наименьших квадратов, имеет вид у=0,5х+b, где число b равно

• 0
• 2
• 1
• 1,5

В ящике 7 внешне одинаковых деталей, на деле же 4 хороших, а 3 с браком. Мастер наугад берет две. Вероятность, что обе детали c браком, равна

• 1/4
• 1/6
• 1/7
• 2/7

Пусть для данной выборки подсчитана выборочная дисперсия S2. Если теперь каждый член хi выборки умножить на два, то величина S2

• возрастет в 4 раза
• возрастет на единицу
• возрастет в 2 раза
• не изменится

В тесте 5 вопросов, на каждый вопрос даны 4 ответа: 1 верный и 3 неверных. На каждый вопрос наугад берется один ответ (из четырех) в качестве верного. Вероятность угадать все 5 верных ответов равна

• 0.001
• 1/120
• 1/45
• 1/35

Пусть Х~N(1, 2). Тогда вероятность Р{-5

• 0,95
• 0,5
• 0,9
• 0,997

При бросании игральной кости (грани пронумерованы 1, 2,…, 6) два события: выпадение 3 очков – являются

• независимыми
• несовместными
• противоположными
• совместными

Дана выборка 3, 4, 3, 5, 6, 5,4, 2, 4, 4 объема n=10, =4. Выборочная дисперсия S2 равна

• 3
• 1,2
• 2,5
• 2

Случайная величина Х задана рядом распределения хi 1 2 3 рi 0,2 0,3 0,5 Ряд распределения случайной величины Y=2X-3 имеет вид

• хi -1 1 3 рi 0,2 0,3 0,5
• хi 2 3 5 рi 0,2 0,3 0,5
• хi 1 3 3 рi 0,3 0,4 0,5
• хi -1 2 3 рi 0,3 0,2 0,6

Математическое ожидание МХ дискретной случайной величины Х, принимающей значение хi с вероятностью рi, i=1,2,…,n, равно

• /n
• (x1 +xn)/2.
• В. х1р1 + х2р2+…+хnрn

Верны ли утверждения? А) Полученное по точкам с =3 и =7 по методу наименьших квадратов уравнение прямой у=2х+3 не содержит ошибку В) Увеличивая при проверке гипотезы уровень значимости , мы увеличиваем критическую область

• A – да, В — нет
• A – нет, В -да
• A – да, В — да
• A – нет, В -нет

Случайная величина Х задана рядом распределения хi 1 2 3 рi 0,2 0,3 0,5 Вероятность события {(X=1)+(X>2,5)} равна (ответ – десятичной дробью)

Дана выборка 3, 4, 3, 5, 6, 5,4, 2, 4, 4 объема n=10, выборочная мода равна

Среднее значение МХ непрерывной случайной величины Х вычисляется по формуле

• f(х)dx
• х1р1 + х2р2+…+хnрn
• f(х)dx

При бросании игральной кости (грани пронумерованы 1, 2,…, 6) два следующих события: выпадение 2 очков – являются

• противоположными
• равновероятными
• независимыми
• случайными

Для обработки наблюдений методом наименьших квадратов построена прямая. Верным является из график

Формула полной вероятности – это формула вида: Р(А) =

• (Нi )Р(Нi |A).
• Р(Н1)Р(Н1|A)+…+Р(Нn )Р(Нn|A)
• (Нк)Р(А|Нк)
• Р(Н1)Р(А|Н1)+Р(Н2)Р(А|Н2)+…+Р(Нn )Р(А|Нn)

Пусть для данной выборки подсчитано выборочное среднее . Если все члены хi выборки умножить на 2, то выборочное среднее

• не изменится
• возрастет в 4 раза
• умножится на два
• возрастет на 2

Вероятность Р любого события

• >0,5
• 1
• 0

Случайная величина Х задана рядом распределения хi -1 0 1 рi 0,4 0,2 0,4 Среднее значение величины Y=2X+1 равно

На отрезке [0; 2] берем случайную точку Т. Рассмотрим события: А={T1}, В={1T

А+В
{T>1}={12}
АВ
{0 T 2}
В+
{T=1}
{T

• А+В
• {T>1}={12}
• АВ
• {0 T 2}
• В+
• {T=1}
• {T
• ame-a/(m!)
• (ame-a/m)!
• mae-a/m!
• ame-a/a!
• аMX∙MY
• аMX+MY
• аMX-MY
• аMY+аMX
• 1/4
• 1/6
• 1/3
• 1/2
• х 0 2 р 0,25 0,75
• х 1 5 р 0,5 0,5
• x 1 3 p 0,2 0,6
• x 0 5 p 0,6 0,4
• зависимы
• противоположны
• независимы
• несовместны
• хi 1 2 3 рi 0,3 0,2 0,42
• хi 0 1 2 рi 0,12 0,46 0,42
• хi 0 1 2 рi 0,2 0,3 0,5
• хi -1 1 3 рi 0,3 0,4 0,3
• А — да, В — да
• А — нет, В — нет
• А — нет, В — да
• А — да, В — нет
• противоположны
• несовместны
• совместны
• имеют равные вероятности
• А — да, В — нет
• А – нет, В – да
• А – нет, В — нет
• А — да, В — да
• Корреляционная статистическая зависимость
• такая зависимость между случайными величинами Х и Y, при которой изменение одной величины влечет изменение распределения другой
• Ковариационная модель
• модель, в которой один из двух признаков изучаемой двумерной величины, например x, выступает в качестве независимой компоненты (чаще всего это время), т.е. переменная x вообще не случайна, а случайна только переменная y
• Регрессионная модель
• модель, в которой оба признака изучаемой двумерной величины равноправны
• Статистическая зависимость
• такая зависимость, в которой при изменении одной величины изменяется среднее значение (математическое ожидание) другой
• a DXDY
• a2DX+DY
• aDX-DY
• a2 DX-DY
• Выборочное среднее = 14,5
• (12,5 ; 15,5)
• Выборочное среднее = 14,2
• (12,5 ; 15,7)
• Выборочное среднее = 14
• (12,5 ; 16,5)
• N(0, 1/16)
• N(1, 1/4)
• N(0, 1/4)
• N(0, 1/8)
• в 8 раз
• в 2 раза
• в 4 раза
• в 16 раз
• 1,2
• 1
• 2,1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 4,5
• дифференцируема
• не убывает
• непрерывна
• неотрицательна
• 20
• 2,1
• 1,6
• 10
• –1,1; 0,76
• 0,91; 1,21
• –0,54; 1,26
• –0,54; 0,76
• 1
• 0,3
• 0,5
• 2
• 1/6
• 1/4
• 1/3
• 2/3

Формула Пуассона такова: Р(m)= Р(=m)=

• ame-a/(m!)
• (ame-a/m)!
• mae-a/m!
• ame-a/a!

Случайная величина Х подчиняется нормальному закону cо средним значением а и среднеквадратическим отклонением , т.е. X ~N(а, ). Тогда её плотность вероятности f(х) имеет вид

Mатематическое ожидание суммы случайных величин: М(аX+Y)=

• аMX∙MY
• аMX+MY
• аMX-MY
• аMY+аMX

При бросании игральной кости (грани пронумерованы 1, 2,…, 6) вероятность выпадения 3 или 5 очков равна

• 1/4
• 1/6
• 1/3
• 1/2

В урне 4 шара: один с цифрой 0, три с цифрой 2, т.е. 0, 2, 2, 2. Опыт – извлечение из урны одного шара наугад. Случайная величина Х – число очков на вынутом шаре. Х подчиняется дискретному закону в виде ряда распределения

• х 0 2 р 0,25 0,75
• х 1 5 р 0,5 0,5
• x 1 3 p 0,2 0,6
• x 0 5 p 0,6 0,4

В некотором опыте вероятности событий А, В и АВ таковы: P{А}=1/2, P{В}=1/2, P{АВ}=1/3. Тогда события А и В

• зависимы
• противоположны
• независимы
• несовместны

Два стрелка стреляют по разу в цель. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,7, для второго 0,6. Тогда ряд распределения вероятностей случайной величины Х – общего числа попаданий в цель двумя стрелками таков

• хi 1 2 3 рi 0,3 0,2 0,42
• хi 0 1 2 рi 0,12 0,46 0,42
• хi 0 1 2 рi 0,2 0,3 0,5
• хi -1 1 3 рi 0,3 0,4 0,3

Верны ли определения? A) Двусторонний доверительный интервал с уровнем доверия для математического ожидания a нормального распределения для случая, когда среднеквадратическое отклонение распределения неизвестно: B) Односторонний доверительный интервал с уровнем доверия для математического ожидания a нормального распределения для случая, когда среднеквадратическое отклонение распределения неизвестно: Подберите правильный ответ

• А — да, В — да
• А — нет, В — нет
• А — нет, В — да
• А — да, В — нет

Точку Т выбираем наугад на отрезке [0, 6]. Два следующих события: {T3} и {T3}

• противоположны
• несовместны
• совместны
• имеют равные вероятности

Пусть X и Y – независимые случайные величины, DX=1 и DY=2. Тогда дисперсия D(2X+3Y) равна

Верны ли утверждения? А) Вероятность объединения двух событий всегда равна сумме их вероятностей В) Вероятность всегда заключена между нулем и единицей

• А — да, В — нет
• А – нет, В – да
• А – нет, В — нет
• А — да, В — да

Установите соответствие между левыми и правыми частями таблицы

• Корреляционная статистическая зависимость
• такая зависимость между случайными величинами Х и Y, при которой изменение одной величины влечет изменение распределения другой
• Ковариационная модель
• модель, в которой один из двух признаков изучаемой двумерной величины, например x, выступает в качестве независимой компоненты (чаще всего это время), т.е. переменная x вообще не случайна, а случайна только переменная y
• Регрессионная модель
• модель, в которой оба признака изучаемой двумерной величины равноправны
• Статистическая зависимость
• такая зависимость, в которой при изменении одной величины изменяется среднее значение (математическое ожидание) другой

Для независимых случайных величин X и Y дисперсия D(aXY)=

• a DXDY
• a2DX+DY
• aDX-DY
• a2 DX-DY

Поставьте в соответствие точечную оценку математического ожидания нормального распределения и его возможную интервальную оценку:

• Выборочное среднее = 14,5
• (12,5 ; 15,5)
• Выборочное среднее = 14,2
• (12,5 ; 15,7)
• Выборочное среднее = 14
• (12,5 ; 16,5)

Если для стандартной нормальной величины ~N(0, 1) берем выборку объема n=16, то выборочное среднее будет подчиняться закону

• N(0, 1/16)
• N(1, 1/4)
• N(0, 1/4)
• N(0, 1/8)

Для того чтобы вдвое сузить доверительный интервал, построенный для математического ожидания, число наблюдений надо увеличить

• в 8 раз
• в 2 раза
• в 4 раза
• в 16 раз

Дана выборка 3, 4, 3, 5, 6, 5,4, 2, 4, 1 объема n=10. Размах вариационного ряда равен

Случайные величины Х и Y заданы рядами распределения хi -1 0 1 рi 0,4 0,2 0,4 ук -2 1,5 2 рк 0,3 0,4 0,3 Среднее суммы M(3X+2Y) равно

• 1,2
• 1
• 2,1
• 2

Дана выборка 3, 4, 3, 5, 6, 5,4, 7, 4, 7 объема n=10. Выборочная медиана равна

• 3
• 4
• 5
• 4,5

Функция распределения F дискретной случайной величины

• дифференцируема
• не убывает
• непрерывна
• неотрицательна

У биномиальной величины Х среднее МХ=2 и параметр n=10. Значит, дисперсия DX равна

• 20
• 2,1
• 1,6
• 10

При проведении расчетов для двух выборок получили два коэффициента корреляции. Ошибки допущено не было. Значения r1 и r2 составили

• –1,1; 0,76
• 0,91; 1,21
• –0,54; 1,26
• –0,54; 0,76

Пусть случайная величина Х имеет равномерное распределение на [0; 5], т.е. её плотность вероятности f равна числу 0,2 на отрезке [0,5] и 0 вне его. Функция распределения F величины Х в точке 2,5 равна

• 1
• 0,3
• 0,5
• 2

При бросании игральной кости (грани пронумерованы 1, 2,…, 6) вероятность выпадения меньше 3 или больше 4 очков равна

• 1/6
• 1/4
• 1/3
• 2/3