Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы. Часть 1

Для проверки гипотезы о независимости признаков А и В произведена выборка и значения признака А сгруппированы в r интервалов, а признака В — в s интервалов. Проверка гипотезы производится с помощью статистики имеющей распределение χ2, число степеней свободы которого равно

• (r-1)s
• r(s-1)
• rs
• (r-1)(s-1)

На тестировании студент выбирает наугад один ответ из 4 возможных, среди которых один ответ верный. Вероятность того, что он правильно ответит хотя бы на один вопрос из двух предложенных тестов, равна

Проверяется гипотеза о том, что вероятность выиграть в рулетку 1/37. Доверительный интервал с уровнем доверия 95% строится по формуле , где , n — число испытаний, m — количество выигрышей. Чтобы отношение числа выигрышей m к числу n отличалось от 1/37 не более чем на 0,01, надо сделать ставок не меньше, чем

• 2000
• 100
• 33
• 1052

В таблице статистического распределения, построенного по выборке, на одно число попала клякса. Это число:

• х = 0,5
• х = 0,2
• х = 0,4
• х = 0,3

Математическое ожидание дискретной случайной величины — это

По выборке построены прямые регрессии: y=4x+4 и x=0,04y+2. Коэффициент корреляции равен

• 0,16
• 2
• 0,4
• 0,2

Если события А и В несовместны, то для них справедливо равенство

• Р(А + В) = Р(А) Р(В)
• Р(А) =1
• Р(А) + Р(В) = 1
• Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Пуассоновский процесс — это

• случайный марковский процесс с дискретными значениями и вероятностями состояний
• поток случайных событий, где промежуток времени между соседними событиями распределен по показательному закону
• простейший поток случайных событий, у которого число событий , наступивших за время , является марковским процессом
• случайный процесс, у которого плотности вероятности перехода равны либо 0,5, либо 0

Случайная величина Х имеет распределение Пуассона с параметром . Ее числовые характеристики равны

Случайная величина X распределена «нормально с параметрами 3,2» — N[3,2]. Вероятность для нее попасть внутрь интервала [-1,7] равна

• 0.68
• 0.9973
• 0.97
• 0.9544

Если случайные величины независимы, то ковариация равна

• 0
• 1
• -1

Выборочное распределение задано таблицей. Значение кумуляты в точке 170 и медиана, вычисленные по этой таблице, равны

• 0,8; 166;
• 0,9; 170;
• 0,5; 166;
• 0,65; 168;

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей плотность распределения , равны

• 0; 5
• 2; 25
• 2; 5
• 2; 1

При проверке с помощью критерия χ2 гипотезы о равномерном распределении R(a,b), когда концы интервала a и b известны, а число интервалов группировки равно m, статистика χ2 имеет распределение χ2 с числом степеней свободы

• m
• m — 2
• m — 1
• m — 3

Вероятность попадания в десятку для некоторого стрелка равна 0,7. Стрелок стреляет дважды по мишени. Вероятность того, что стрелок попадает дважды, равна

• 0,3
• 0,21
• 0,5
• 0,49

Среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины вычисляется по формуле

Термины «некоррелированные» и «независимые» случайные величины эквивалентны для случая

• показательного распределения
• распределения Пуассона
• биномиального распределения
• нормального распределения

Утверждение о том, что функция распределения однозначно определяется своей характеристической функцией

• всегда справедливо
• справедливо, если случайная величина непрерывна
• несправедливо
• справедливо, если случайная величина дискретна

Два события будут несовместными, если

• Р(АВ) = 0
• Р(АВ) = Р(А)Р(В)
• Р(АВ) = Р(А) + Р(В)
• Р(АВ) = 1

Три шарика случайным образом помещают в трех ящиках. Вероятность того, что в каждом ящике окажется по одному шарику, равна

Формула D(-X) = D(X)

• верна только для отрицательных Х
• верна только для положительных Х
• неверна
• верна

Формула

• верна для зависимых и
• всегда верна
• верна для независимых и
• неверна

Вероятность того, что студент сдаст экзамен по математике, равна 0,5, а экзамен по иностранному языку — 0,6. Вероятность того, что он сдаст хотя бы один экзамен, равна

Случайная величина U, характеризующая степень расхождения теоретического и эмпирического закона распределения при проверке с помощью критерия χ2 нулевой гипотезы Н0 о том, что исследуемая случайная величина имеет определенный закон распределения, вычисляется по формуле

Плотность вероятности перехода определяется для

• пуассоновского процесса
• марковского процесса с дискретным временем и с дискретными состояниями
• марковского процесса с непрерывным временем и с дискретными состояниями
• любого случайного процесса

Уравнения Колмогорова позволяют найти

• вероятности состояний в марковском процессе
• размеченный граф состояний системы
• предельные вероятности состояний
• переходную матрицу

Формула полной вероятности имеет вид

Дана выборка объема n: х1, х2, х3, …, хn. Ее выборочное среднее равно Выборочная дисперсия находится по следующей формуле:

Дана выборка объема n: х1, х2, …, хn. Выборочная средняя равна . Тогда статистический центральный момент k-го порядка находится по следующей формуле:

Распределение вероятностей, которое имеет случайная величина , где и — независимые случайные величины, распределенные по с n1 и n2 степенями свободы, называется

• распределением Фишера-Снедекора, оно определяется двумя параметрами — n1/n2 и n1 + n2
• распределением Фишера-Снедекора, оно определяется двумя параметрами — n1 и n2
• распределением Стьюдента, оно определяется двумя параметрами — n1 и n2
• распределением Фишера-Снедекора, оно определяется двумя параметрами — k1 = n1-1 и k2 = n2-1

Дана выборка объема n: х1, х2, …, хn. Если каждый элемент выборки увеличить на 5 единиц, то

• выборочное среднее не изменится, а выборочная дисперсия S2 увеличится на 5
• выборочное среднее увеличится на 5, а выборочная дисперсия S2 увеличится на 25
• выборочное среднее увеличится на 5, а выборочная дисперсия S2 не изменится
• выборочное среднее увеличится на 5, а выборочная дисперсия S2 увеличится тоже на 5

Вероятность безотказной работы каждой из 5 однотипных машин в течение заданного времени равна 0,8. Вероятность того, что по истечении заданного времени безотказно проработают две машины, а откажут три, равна

Функция распределения случайной величины

• убывает
• не убывает
• не возрастает
• постоянна

Имеется m выборок объема n из m нормальных законов с одинаковыми дисперсиями s2 и математическими ожиданиями а1,а2,…,аm. Задача проверки нулевой гипотезы Н0 о совпадении m математических ожиданий — Н0: а1=а2=…аm решается методами

• регрессионного анализа
• корреляционного анализа
• дисперсионного анализа
• по критерию χ2

Композиция (или свертка) плотностей распределения двух случайных величин и , имеющих плотности распределения соответственно и , — это выражение вида

Уравнение регрессии Y на Х, выраженное через коэффициент корреляции r, имеет вид

Дана конкретная выборка объема n = 10: 2, 2, 5, 5, 4, 3, 4, 2, 2, 5. Статистическое распределение этой выборки имеет следующий вид

Случайная величина имеет математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию — 1, тогда вероятность того, что величина отклонится от нуля не меньше чем на 3, имеет оценку сверху

• 1/27
• 1/3
• 1/9
• 1

Для оценки тесноты связи между признаками (Х,Y) в числовой форме вычисляют безразмерную характеристику, выражающую тесноту связи между признаками в числовой форме. Это

• коэффициент детерминации
• отношение их эмпирических дисперсий
• коэффициент корреляции
• ковариация

Вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b) выражена через плотность распределения следующей формулой

• P (a
• P (a (x) dx
• P (a (x) dx
• P (a (x) dx

Выборка задана таблицей. Медиана выборки равна

• 0.5
• 2
• 1.5
• 1

Случайная величина Х называется центрированной, если

• DX = 1
• MX = 1
• МХ = 0
• DX = MX

Если вероятность р некоторого события неизвестна, а для оценки этой вероятности производится n испытаний, то 95%-й процентный доверительный интервал для величины р находится по формуле (во всех формулах принято обозначение: )

По выборке объема n = 100 сосчитано выборочное среднее — 54 и выборочная дисперсия — 16. 95%-ый доверительный интервал для генерального среднего равен

• (53,84; 54,16)
• (53,68; 54,32)
• (53,92; 54,08)
• (53,2; 54,8)

Для проверки гипотезы о виде распределения вероятностей провели 100 опытов, построили эмпирическую функцию распределения и нашли, что максимальная разница между значением эмпирической функции распределения и теоретической оказалась равной 0,2. Чему равно значение статистики Колмогорова? Можно ли утверждать, что на уровне значимости 0,05 проходит гипотеза о виде распределения?

• 2; нельзя
• 0,2; можно
• 2; можно
• 0,2; нельзя

Для обработки наблюдений методом наименьших квадратов построена прямая. Какой из графиков верный?

Дано статистическое распределение выборки с числом вариантов m: Выборочное среднее находится по следующей формуле:

Для зависимых случайных величин соотношение при

• несправедливо
• справедливо, если
• справедливо всегда
• справедливо, если

Математическое ожидание и дисперсия -распределения с n степенями свободы равны соответственно

Если случайные величины и независимы, то дисперсия их суммы равна

• 0