Уравнения математической физики (курс 2). Часть 1

Интеграл Фурье четной функции f(x) имеет вид

• F(s) =f(x)cos(sx)dx
• F(s) =f(x)e-xsdx
• , где
• , где

Преобразование Фурье F[f] по x функции f(x,t) имеет свойство

• F[] = F[f]
• F[] = is F[f]
• F[] = F[f]
• F[] = is F[f]

Установите соответствие :

• Преобразование Фурье функции f(x) имеет вид
• где
• Интеграл Фурье нечетной функции f(x) имеет вид
• , где
• Интеграл Фурье четной функции f(x) имеет вид
• F(s) =f(x)e-ixsdx

Преобразование Фурье F[f] по t функции f(x,t) имеет свойство

• F[] = F[f]
• F[] = F[f]
• F[] = F[f]
• F[] = F[f]

Синус-преобразование Фурье функции f(x) записывается в виде Fs(a) = f(x)sinax dx. Найти синус-преобразование Фурье функции

• ×

Для уравнения теплопроводности Ut = а2Uxх задается начальное условие = j(x). Задача нахождения решения этого уравнения с заданными начальными условиями называется задачей __________ для одномерного уравнения теплопроводности

Интеграл вида при принимает вид и называется __________

Решение задачи y¢¢ +9у = 0, у(0) = у(p) = 0 имеет вид

• y = cos3х
• y = sin3pх
• y = sinx
• y = sin3х

Укажите верные утверждения:

• уравнение теплопроводности имеет тип эллиптический
• задача нахождения решения уравнения теплопроводности с заданными начальными условиями называется задачей коши
• уравнение теплопроводности имеет тип гиперболический
• уравнение теплопроводности имеет тип параболический

Выберите ответы — Преобразование Фурье F[f] по x функции f(x,t) имеет свойства:

• F[] = F[f]
• F[] = is F[f]
• F[] = is F[f]
• F[] = F[f]

Коэффициент А(l) в задаче Коши для уравнения теплопроводности , U(x,0) = j(x) вычисляется по формуле А(l) = j(x)cosxdx. Коэффициент A(l) = 0, когда j(x) является __________________ функцией

Если функция определена при , то cинус-преобразованием Фурье функции f(x) называется функция вида

• F(s) =f(x)sinsdx
• F(s) =f(x)sin(sx)dx
• F(s) =f(x)e-xsdx
• F(s) =f(x)e-ixsdx

Преобразование Фурье F[f] функций удовлетворяет свойству линейности

• F[K1f × K2g] = K1F[f] × K2F[g]
• F[K1f × K2g] = K1F[f] + K2F[g]
• F[K1f + K2g] = K1F[f] × K2F[g]
• F[K1f + K2g] = K1F[f] + K2F[g]

Если имеются тепловые источники, уравнение теплопроводности будет ___________ (ответ дайте словами)

Верны ли утверждения? А) Каждому собственному значению задачи Штурма-Лиувилля соответствует множество собственных функций. В) В задаче Штурма-Лиувилля X¢¢+ lX= 0, Х(0) = Х(1) = 0 собственные значения и собственные функции существуют только, если значения λ > 0. Выберите правильный ответ

• А – да, В – да
• А – нет, В – да
• А – нет, В – нет
• А – да, В – нет

Найти решение уравнения Ut = Uхх, 0 t Данная задача является первой ___________ задачей для уравнения теплопроводности

Для уравнения теплопроводности Ut = a2(Uxx +Uyy + Uzz) задается начальное условие = j(x,y,z). Задача нахождения решения этого уравнения с заданными начальными условиями называется задачей Коши в ____________

Выражение , где , является интегралом Фурье ________ функции f(x)

Интеграл вида при принимает вид . Если существует и конечен, то этот интеграл называется __________

Найти решение уравнения X¢¢+ lX= 0, удовлетворяющее условиям Х(0) = Х(1) = 0. Задача нахождения функции X(x) является задачей _______________

Фундаментальным решением уравнения теплопроводности является функция (выберите верные утверждения):

• f(x, t) = sin(pхt)

Если f(x) нечетная функция, то преобразования Фурье переходят в

• котангенс — преобразования
• косинус — преобразования
• синус — преобразования
• тангенс — преобразования

Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с начальным условием имеет решение

Коэффициент А(l) в задаче Коши для уравнения теплопроводности , U(x,0) = j(x) вычисляется по формуле А(l) = j(x)cosxdx. Тогда коэффициент А(l) при U(x,0) = j(x) = x равен

• 0

Преобразование, которое каждой функции ставит в соответствие новую функцию по формуле , называют _________ преобразованием

Выражение называется интегральной формулой Пуассона для уравнения ___________

В задаче Штурма-Лиувилля X¢¢+ lX= 0, Х(0) = Х(1) = 0. Значения ln = p2n2, где n = 1, 2, … — это ___________ значения задачи Штурма-Лиувилля

Интегральное преобразование Фурье функции f(x): (выберите правильные ответы)

• может быть прямым
• может быть обратным
• имеет ядро преобразования
• может быть сопряженным

Верны ли определения? Если функция определена при , то преобразованием Фурье функции f(x) называется функция вида: А) F(s) =f(x)e-ixsdx; В) F(s) =f(x)sin(xs)dx Выберите правильный ответ

• А – нет, В – нет
• А – да, В – да
• А – да, В – нет
• А – нет, В – да

В преобразовании, в котором каждой функции f(x) ставится в соответствие функция F(s) по формуле , функция K(s,x) называется

• функцией Грина
• ядром преобразования
• функцией источника
• функцией Лапласа

Решение задачи y¢¢ + = 0, у(0) = у(4p) = 0 имеет вид

• y = sinpх
• y = cospх
• y = sinх
• y = sinx

Решение задачи y¢¢ +у = 0, y(0) = y(3) = 0 имеет вид

• y = sinx
• y = sinx
• y = sinpх
• y = cosx

Верны ли утверждения? А) В задаче Штурма-Лиувилля существует бесконечное множество собственных значений и соответствующая им бесконечная последовательность собственных функций. В) Все собственные значения задачи действительные. Выберите правильный ответ

• А – нет, В – нет
• А – да, В – нет
• А – нет, В – да
• А – да, В – да

Выражение вида f(x) =F(s)eixsds называется ___________ преобразованием Фурье функции f(x)

Коэффициент В(l) в задаче Коши для уравнения теплопроводности , U(x,0) = j(x) вычисляется по формуле В(l) = j(x)sinxdx. Тогда коэффициент B(l) при U(x,0) = j(x) = cosx равен

• 1
• -1
• 0

В первой краевой задаче Ut = Uхх, 0 t Условие — это _______________ условие

Коэффициент А(l) в задаче Коши для уравнения теплопроводности , U(x,0) = j(x) вычисляется по формуле А(l) = j(x)cosxdx. Коэффициент А(l) = 0 при U(x,0) = j(x) = sinx , потому что j(x) = sinx является ___________ функцией

Cинус-преобразование Фурье функции f(x) записывается в виде Fs(a) = f(x)sinax dx. Найти синус-преобразование Фурье функции

• ×

В первой краевой задаче для уравнения теплопроводности начальная функция j(х) разлагается в ряд Фурье по

• собственным функциям задачи Дирихле
• собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля
• собственным значениям задачи Штурма-Лиувилля
• не разлагается в ряд Фурье

Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности выражается формулой Пуассона в виде

Решением уравнения теплопроводности Ut = Uхх в области является функция , которая называется

• интегральным расширением уравнения теплопроводности
• интегральной формулой Пуассона
• интегральным решением уравнения теплопроводности
• фундаментальным решением уравнения теплопроводности

Преобразование Фурье F[f] по t функции f(x,t) имеет свойство

• F[] = F[f]
• F[] = is F[f]
• F[] = is F[f]
• F[] = F[f]

Коэффициент В(l) в задаче Коши для уравнения теплопроводности , U(x,0) = j(x) вычисляется по формуле В(l) = j(x)sinxdx. Выберите правильные утверждения:

• если U(x,0) = j(x) = cosx, то B(l) = π
• если U(x,0) = j(x) четная функция, B(l) ≠ 0
• если U(x,0) = j(x) = cosx, то B(l) = 0
• если U(x,0) = j(x) четная функция, то B(l) = 0

Функция при всех значениях является решением уравнения теплопроводности в области . Данная функция называется _____________ решением уравнения теплопроводности

Выражение вида F(s) =f(x)e-ixsdx называется

• обратным преобразованием Фурье
• преобразованием Фурье функции f(x)
• интегралом Фурье
• разложением Фурье

Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с начальным условием представляется формулой где функция называется

• интегралом Фурье
• функцией Бесселя
• функцией Грина
• функцией Лапласа

Свёрткой функций f(x) и g(x) называется функция

• f*g =f(x)g(x)dx
• f*g =f(x)g(x)dx
• f*g =f(x)g(x)dx
• f*g =f(x-x)g(x)dx

Уравнение Ut = a2Uxx является __________ уравнением теплопроводности

Пусть на бесконечном тонком стержне в начальный момент времени в точке внезапно введено некоторое количество тепла. Без большой погрешности можно считать, что начальная температура отлична от нуля только на отрезке , где – мало. Интеграл Пуассона в этом случае будет иметь вид U0 в данном случае обозначает

• температуру на конце стержня
• начальную температуру
• расстояние от точки приложения теплового импульса до точки
• конечную температуру

Решение задачи y¢¢ +p2у = 0, у(0) = у(3) = 0 имеет вид

• y = sinpх
• y = cospх
• y = sin3х
• y = sinx