Уравнения математической физики (курс 2)

Уравнение теплопроводности после преобразования Фурье имеет вид

• s2u — uxx = 0
• ut + s2u = 0
• s2u + uxx = 0
• ut — s2u = 0

Задача ______ для уравнения теплопроводности — задача об отыскании решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющего начальному условию – распределению температуры

Решением уравнения Uxx — Uyy = 0 является функция

• U = 2x + 2y2
• U = x2 + 2y
• U = x2 – y2
• U = (x – y)2

Выражение вида f(x) =F(s)eixsds называется _____ Фурье

• обратным преобразованием
• разложением
• интегралом
• коэффициентом

Дополнительные условия, которым должно удовлетворять решение нестационарного уравнения в начальный момент времени, называются

• неоднородными
• начальными
• конечными
• однородными

Если функция определена для всех , то ей соответствует , которая для является ___ Фурье

Верны ли утверждения? А) Фронт волны – это граница между возмущённой и невозмущенной областями среды В) Свёртка функций представляет собой интегральное преобразование двух функций и , задаваемое формулой Подберите правильный ответ

• А – нет, В — нет
• А – да, В — нет
• А – да, В — да
• А – нет, В — да

Ортогональные функции и — это

• функции, определённые в интервале, и такие, что , но и
• однозначные функции, аналитические в каждой точке интервала
• функции, определённые и не равные 0 в интервале

Преобразование Фурье F[f] по х функции f(x,t) имеет свойство

• F[] = F[f]
• F[] = F[f]
• F[] = is F[f]
• F[] = F[f]

Переставьте строки в правом столбце так, чтобы строки в обоих столбцах соответствовали друг другу

• среднее значение функции, заданной на поверхности
• среднее значение функции, заданной на плоской кривой
• среднее значение функции, заданной в области

Переставьте строки в правом столбце так, чтобы строки в обоих столбцах соответствовали друг другу

• уравнение гиперболического типа в области
• уравнение, которое имеет разный тип в разных точках области
• уравнение эллиптического типа в области
• уравнение, имеющее в каждой точке области параболический тип
• уравнение параболического типа в области
• уравнение, имеющее в каждой точке области эллиптический тип
• уравнение смешанного типа в области
• уравнение, имеющее в каждой точке области гиперболический тип

Если функция определена для всех , то ей соответствует , которая для является ___ Фурье

• обратным преобразованием
• преобразованием
• ядром обратного преобразования
• ядром преобразования

Ортогональная система функций — это

• последовательность функций , попарно ортогональных в интервале
• функции, определённые и не равные 0 в интервале
• функции, непрерывные в каждой точке интервала
• однозначные функции, аналитические в каждой точке интервала

Уравнение Лапласа на плоскости имеет вид

• Uxx + Uyy = 0
• Ux = Uyy
• Uxx = Uyy + Uzz
• Uxx = Uyy

Верны ли утверждения? А) Уравнение z2(Uxx)2 + x2(Uyy)2 — y2(Uzz)2 = 0 линейное второго порядка В) Уравнение Uxx + x2Uy + zU = 0 линейное второго порядка Подберите правильный ответ

• А – да, В – нет
• А – нет, В – нет
• А – нет, В – да
• А – да, В – да

Верны ли утверждения? А) При решении задачи Коши для уравнения теплопроводности можно использовать метод Фурье В) При решении волнового уравнения можно использовать метод характеристик Подберите правильный ответ

• А – нет, В — нет
• А – да, В — да
• А – да, В — нет
• А – нет, В — да

Решением уравнения Uxy = 0 является функция

• U = x2 + y2
• U = xy
• U = x2y2
• U = (x –1)(y + 1)

Сопоставьте термины и их определения

• Задача Коши для уравнения теплопроводности
• найти значения параметраl,при которых уравнение [p(x)y¢]¢-q(x)y+lr(x)y=0,0имеет>1y(0) + b1y¢(0) = 0, a1y(l) + b1y¢(l) = 0
• Задача Неймана (вторая краевая задача) для уравнения Лапласа (Пуассона)
• задача об отыскании решения уравнения Лапласа (или уравнения Пуассона), удовлетворяющего условию Неймана на границе области
• Задача Штурма-Лиувилля
• задача об отыскании решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющего начальному условию – распределению температуры

Установить соответствие между волновым уравнением и размерностью пространства, для которого оно записано

• 3 -мерное пространство
• двумерное (плоскость)
• одномерное (прямая)

Выражение вида F(s) =f(x)e-ixsdx называется

• коэффициентом Фурье
• преобразованием Фурье функции f(x)
• интегралом Фурье
• разложением Фурье

Преобразования Фурье f(x) =F(s)eixsds и F(s) =f(x)e-ixsdx называются

• взаимно обратными
• обратно сопряжёнными
• взаимно противоположными
• взаимно сопряжёнными

Переставьте строки в правом столбце так, чтобы строки в обоих столбцах соответствовали друг другу

• принцип максимума для гармонической функции
• гармоническая на всей плоскости функция не может быть ограниченной сверху или снизу, если она не постоянная
• гармоническая функция
• значение гармонической функции в некоторой точке плоскости равно среднему значению этой функции на окружности с центром в этой точке
• теорема о среднем для гармонических функций
• решение уравнения Лапласа, имеющее непрерывные частные производные второго порядка
• теорема Лиувилля
• всякая гармоническая функция, отличная от постоянной и непрерывная вплоть до границы области, не может принимать своего максимального (минимального) значения во внутренней точке области

Дифференциальное уравнение в точке имеет вид . Если его дискриминант , оно называется уравнением __ типа

Решением уравнения Uxx + Uyy = 0 является функция

• U = x2y
• U = x + y2
• U = x2 – y2
• U = x2 + y2

Дифференциальное уравнение в точке имеет вид . Если его дискриминант , называется уравнением __ типа

Граничные условия первого, второго или третьего рода, в которых правая часть тождественно равна нулю

• Начальные граничные условия
• Дифференциальные граничные условия
• Однородные граничные условия
• Неоднородные граничные условия

Преобразование Фурье F[f] по х функции f(x,t) имеет свойство

• F[ft] = F[f]
• F[] = is F[f]
• F[ft] = is F[f]
• F[fх] = F[f]

Установите соответствие между записью оператора Лапласа в различных координатах

• в цилиндрических координатах
• в полярных координатах (на плоскости)
• в декартовых координатах

Установите соответствие между строками в правом и левом столбцах

• обратное преобразование Фурье функции
• преобразование Фурье функции
• ядро преобразования Фурье

Верны ли утверждения? А) Решением краевой задачи называется такое решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет заданным краевым условиям. Б) Две собственные функции задачи Штурма-Лиувилля, соответствующие одному и тому же собственному значению λ, линейно независимые.

• А — нет, Б — да
• А – да, Б — да
• А — да, Б — нет
• А — нет, Б — нет

Дополнительные условия, которым должно удовлетворять решение дифференциального уравнения на границе области (в частности, на концах интервала (а, b)) – это

• начальные условия
• граничные условия
• конечные условия
• дифференциальные условия

у¢(а) = у¢(b) = 0 – это краевые условия ______________ рода задачи Штурма-Лиувилля

• третьего
• первого
• четвертого
• второго

Установить соответствие между строками в правом и левом столбцах

• обратное интегральное преобразование
• преобразование функций, которое каждой функции ставит в соответствие новую функцию
• пара интегральных преобразований
• функция в интегральном преобразовании
• ядро преобразования
• прямое и обратное интегральные преобразования
• интегральное преобразование
• восстанавливает первоначальную функцию из преобразованной

Волна, возникающая в случае, когда начальное отклонение отсутствует, а начальная скорость отлична от 0, называется волной

Верны ли утверждения? А) Уравнение yUxx + xUyy – z2Uzz = 0 имеет второй порядок В) Уравнение y2Uxy – x2Uzx + z2 Uzy = 0 имеет второй порядок Подберите правильный ответ

• А – нет, В – да
• А – да, В – да
• А – нет, В – нет
• А – да, В – нет

Дифференциальное уравнение в точке имеет вид . Если его дискриминант , называется уравнением __ типа

Коэффициент А(l) в задаче Коши для уравнения теплопроводности Ut = Uxx, U(x,0) = j(x) вычисляется по формуле А(l) = j(x)cosxdx.Тогда коэффициент А(l) при U(x,0) = j(x) = равен

• 1
• 0

Свёрткой функций f(x) и g(x) называется функция

• f*g =f(x)g(x)dx
• f*g =f(x-x)g(x)dx
• f*g =f(x)g(x)dx
• f*g =f(x)g(x)dx

Порядком дифференциального уравнения называется

• наивысшая степень переменных, входящих в уравнение
• наивысший порядок производных, входящих в уравнение
• наивысшая степень производных, входящих в уравнение
• наивысшая степень функций, входящих в уравнение

Сопоставьте термины и их определения

• Норма функции
• тригонометрический ряд Фурье вида , где n=1, 2, 3,…, в которм коэффициенты а0, аn вычисляются по формулам период Т = 2ℓ
• Ортонормированная система функций на [a,b]
• система функций, все функции которой имеют единичную норму и попарно ортогональны на [a, b]
• Ряд Фурье функции по косинусам
• число

Сопоставьте термины и их определения

• Канонический вид уравнений эллиптического типа
• уравнение вида
• Канонический вид уравнений гиперболического типа
• уравнение вида
• Канонический вид уравнений параболического типа
• уравнение вида

Распределение температуры в физическом теле, не зависящее от времени, называется ___ распределением температуры

Верны ли утверждения? А) Объёмный потенциал выражается как В) Потенциал простого слоя выражается как Подберите правильный ответ

• А – да, В — да
• А – нет, В — нет
• А – нет, В — да
• А – да, В — нет

Сопоставьте термины и их определения

• Собственная функция задачи Штурма-Лиувилля
• распределение температуры в физическом теле, не зависящее от времени
• Собственное значение задачи Штурма-Лиувилля
• значение параметра l, при котором задача Штурма-Лиувилля имеет ненулевое решение
• Стационарное распределение температуры
• ненулевое решение задачи Штурма-Лиувилля, соответствующее собственному значению

Верны ли утверждения? А) Собственная функция задачи Штурма-Лиувилля — ненулевое решение задачи Штурма-Лиувилля, соответствующее собственному значению λ В) Собственное значение задачи Штурма-Лиувилля — значение параметра l, при котором задача Штурма-Лиувилля имеет ненулевое решение Подберите правильный ответ

• А – нет, В — нет
• А – нет, В — да
• А – да, В — нет
• А – да, В — да

Волна, возникающая в случае, когда начальная скорость во всех точках равна 0, а начальное отклонение отлично от 0, называется волной

Задача Коши для уравнения теплопроводности имеет вид

• ,
• ,
• ,
• ,

Дифференциальное уравнение называется линейным, если

• все независимые переменные входят в уравнение в первой степени
• все неизвестные функции входят в уравнение в первой степени
• все неизвестные функции и их производные входят в уравнение в первой степени
• все переменные входят в уравнение в первой степени

у(а) = у(b) = 0– это краевые условия ______________ рода задачи Штурма-Лиувилля

• первого
• третьего
• четвертого
• второго

Сопоставьте термины и их определения

• Уравнение теплопроводности на плоскости
• уравнение с частными производными второго порядка вида: гдеU-неизвестная функция,а>0-постоянная
• Уравнение теплопроводности в пространстве
• уравнение с частными производными второго порядка вида: гдеU-неизвестная функция,а>0-постоянная
• Уравнение теплопроводности (одномерное)
• уравнение с частными производными второго порядка вида: гдеU-неизвестная функция,а>0-постоянная