Уравнения математической физики. Задача Коши. Краевые задачи для эллиптических уравнений. Часть 1

Функция u(x,t) = (x-at)2 + sin(x+at) является решением уравнения

• utt + a2uxx = 0
• utt = a2uxx
• ut — aux = 0

Функция называется фундаментальным решением уравнения __________ на плоскости (ответ дать одним словом)

Функция u0(x,y,z) = lnявляется фундаментальным решением уравнения

• Пуассона
• волнового
• Лапласа
• теплопроводности

Cинус-преобразование Фурье функции f(x) записывается в виде: Fs(a) = f(x)sinax dx. Найти синус-преобразование Фурье функции

• ×
• ×
• ×
• ×

Решением уравнения ut — aux = 0 являются две функции

• u(x,t) =
• u(x,t) =
• u(x,t) = sin(x+at)
• u(x,t) = ln(x-at)

Общее решение уравнения aUt + bUx = 0 записывается в виде U(x,t) = C(ax-bt), где С(u) – произвольная дифференцируемая по u функция. Тогда общее решение уравнения 3Ut — Ux = 0 можно записать в двух видах

• U(x,t) = C(3x+t)
• U(x,t) = C(x+t)
• U(x,t) = C1(x-3t) + C2(x+3t)
• U(x,t) = C(x-3t)

Функция u(x,t) = ex+at является решением уравнения

• ut — aux = 0
• utt + a2uxx = 0
• ut = a2uxx

Функция u(x,t) = ex+at + sin(x-at) является решением уравнения

• ut = a2uxx
• utt = a2uxx

Уравнения характеристик для дифференциального уравнения имеют вид

• = ;=
• = ;=
• = ;=
• = x2;=

Функция u(x,t) = C1(x-at) + C2(x+at), где С1 и С2 – произвольные функции, является общим решением уравнения

• utt = a2uxx
• utt + a2uxx = 0
• ut = a2uxx

Интегральным преобразованием называют преобразование, которое каждой функции f(x) ставит в соответствие новую функцию F(s) по формуле , где называется __________ (ответ дать из двух слов)

Общее решение одномерного волнового уравнения можно записать в виде u(x,t) = C1(x-at) + C2(x+at), где С1 и С2 – две

• заданные функции
• произвольные постоянные
• функции, определяемые в зависимости от начальных условий
• линейно независимые функции

Преобразования Фурье f(x) = F(s)eixsds и F(s) = f(x)e-ixsdx называются__________ (ответ состоит из двух слов)

Решение уравнения колебания струны Utt = a2Uxx с начальным отклонением U(x,0) = j(x) и начальной скоростью Ut(x,0) = y(x) записывается в виде U(x,t) = + y(x)dx. Тогда решение уравнения Utt = 9Uxx при начальном отклонении U(x,0) = 0 и начальной скорости Ut (x,0) = имеет вид

• U(x,t) =
• U(x,t) =
• U(x,t) =
• U(x,t) =

Выражение называется интегральной формулой Пуассона для уравнения __________ (ответ дать одним словом)

Функция u(x,t) = (x-at)2 является решением уравнения

• ut = a2uxx
• utt + a2uxx = 0
• ut + aux = 0

Общее решение одномерного волнового уравнения можно записать в виде u(x,t) = C1(x-at) + C2(x+at), где С1 и С2 – две ___________, определяемые в зависимости от начальных условий

Преобразованием Фурье функции f(x) называется функция вида

• F(s) = f(x)sinsdx
• F(s) =f(x)e-ixsdx
• F(s) = f(x)cos(sx)dx
• F(s) = f(x)e-xsdx

Решением уравнения ut +3ux = 0 являются две функции

• u(x,t) =
• u(x,t) = sin(x-3t)
• u(x,t) = cos(3x-t)
• u(x,t) =

Установите правильные соотношения.

• фундаментальное решение уравнения Лапласа в пространстве
• интегральная формула Пуассона для уравнения теплопроводности.
• решение задачи Коши для волнового уравнения (формула Даламбера)

Фундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве называется функция

• u0 =
• u0 = r ;
• u0 = ln
• u0 =

Решение уравнения колебания струны Utt = a2Uxx с начальным отклонением U(x,0) = j(x) и начальной скоростью записывается в виде U(x,t) = + y(x)dx. Тогда решение уравнения Utt = Uxx при начальном отклонении U(x,0) = и начальной скорости Ut (x,0) = имеет вид:

• U(x,t) =
• U(x,t) =
• U(x,t) =
• U(x,t) =

Решением уравнения 2ut — ux = 0 являются две функции

• u(x,t) = ln(2x+t)
• u(x,t) = sin(x-2t)
• u(x,t) =
• u(x,t) = cos(2x+t)

Решением уравнения ut + aux = 0 являются две функции

• u(x,t) = sin(x+at)
• u(x,t) =
• u(x,t) = ln(x-at)
• u(x,t) = sin(x-at)

Решением уравнения 3ut — ux = 0 являются две функции

• u(x,t) =
• u(x,t) = arctg(x+3t)
• u(x,t) =
• u(x,t) = sin(x+3t)

Решение уравнения колебания струны Utt = a2Uxx с начальным отклонением U(x,0) = j(x) и начальной скоростью записывается в виде U(x,t) = + y(x)dx. Тогда решение уравнения при начальном отклонении и начальной скорости имеет вид

• U(x,t) = x2 + 2t2
• U(x,t) = t2
• U(x,t) = x
• U(x,t) = 2×2 +a2t2

Решение уравнения колебания струны Utt = a2Uxx с начальным отклонением U(x,0) = j(x) и начальной скорости записывается в виде U(x,t) = + y(x)dx. Тогда решение уравнения Utt = а2Uxx при начальном отклонении U(x,0) = х2 и начальной скорости Ut (x,0) = 0 имеет вид

• U(x,t) = x2 — t2
• U(x,t) = 2×2 + t2
• U(x,t) = x2 +a2 t2
• U(x,t) = x2 + 2t2

Решение уравнения колебания струны Utt = a2Uxx с начальным отклонением U(x,0) = j(x) и начальной скоростью записывается в виде U(x,t) = + y(x)dx. Тогда решение уравнения Utt = а2Uxx при начальном отклонении U(x,0) = 0 и начальной скорости Ut (x,0) = имеет вид

• U(x,t) = (arcsin(x+at) — arcsin(x-at))
• U(x,t) = (arccos(x+at) — arccos(x-at))
• U(x,t) = (arctg(x+at) — arctg(x-at))
• U(x,t) = [+ ]

Коэффициент А(l) в задаче Коши для уравнения теплопроводности Ut = Uxx, U(x,0) = j(x) вычисляется по формуле А(l) = j(x)cosxdx. Тогда коэффициент А(l) при U(x,0) = j(x) = равен

• 0
• 1

Решение уравнения колебания струны Utt = a2Uxx с начальным отклонением U(x,0) = j(x) и начальной скоростью записывается в виде U(x,t) = + y(x)dx. Тогда решение уравнения Utt = а2Uxx при начальном отклонении U(x,0) = e-x и начальной скорости Ut (x,0) = 0 имеет вид

• U(x,t) = (+ )
• U(x,t) = (+ )
• U(x,t) = (- )
• U(x,t) = (- )

Функция называется _________ решением уравнения Лапласа в пространстве (ответ дать одним словом)

Уравнения характеристик для дифференциального уравнения имеют вид

• ;
• ;
• ;
• ;

Функция u0(x,y,z) = является фундаментальным решением уравнения

• Лапласа
• волнового
• теплопроводности
• Пуассона

Коэффициент В(l) в задаче Коши для уравнения теплопроводности Ut = Uxx, U(x,0) = j(x) вычисляется по формуле В(l) = j(x)sinxdx. Тогда коэффициент B(l) при U(x,0) = j(x) = равен

• 1
• 0

Выражение , где , , является решением задачи Коши для уравнения

• Пуассона
• теплопроводности
• Лапласа
• волнового

Функция u(x,t) = ln(x-at) является решением уравнения

• utt + a2uxx = 0
• ut = a2uxx

Выражение вида называется

• Формулой Даламбера
• Преобразованием Фурье функции f(x)
• Интегралом Фурье по синусам функции f(x)
• Интегральной формулой Пуассона

Характеристики уравнения имеют вид

• ;
• t = -3s+c1;x = 5s+c2
• t = s+c1;x = s+c2
• t = s+c1;x = s+c2

Интегралом Фурье по синусам функции f(x) называется выражение вида

• f(x) =
• f(x) =
• f(x) =
• cos x =

Преобразование Фурье F[f] функций удовлетворяет свойству свёртки

• F[f*g] = F[f]×F[g]
• F[f*g] = F[f]*g
• F[f*g] = F[f]+F[g]
• F[f*g] = F[f]*F[g]

Преобразования Фурье f(x) = F(s)eixsds и F(s) = f(x)e-ixsdx называются

• взаимно обратными
• взаимно сопряжёнными
• взаимно противоположными
• обратно сопряжёнными

Выражение вида называется

• интегралом Фурье по косинусам функции f(x)
• интегральной формулой Пуассона
• формулой Даламбера
• преобразованием Фурье функции f(x)

Коэффициент В(l) в задаче Коши для уравнения теплопроводности Ut = Uxx, U(x,0) = j(x) вычисляется по формуле В(l) = j(x)sinxdx Тогда коэффициент B(l) при U(x,0) = j(x) = cosx равен

• -1
• 3
• 0
• 1

Выражение вида F(s) =f(x)e-ixsdx называется

• интегралом Фурье
• разложением Фурье
• коэффициентом Фурье
• преобразованием Фурье функции f(x)

Характеристики уравнения 5ut — ux = 0 имеют вид

• t =s+c1;x = — s+c2
• t = — s+c1;x =s+c2
• t =5s+c1;x = -s+c2
• t = -s+c1;x = 5s+c2

Выражение , где , , является решением задачи Коши для уравнения_______________(ответ дать одним словом)

Пусть в задаче Коши для волнового уравнения начальные условия имеют вид: . В этом случае решение задачи Коши называют волной __________(ответ дать одним словом)

Решением уравнения ut — 5ux = 0 являются две функции

• u(x,t) =
• u(x,t) =
• u(x,t) = sin(5x-t)
• u(x,t) = cos(x+5t)

Решение уравнения колебания струны Utt = a2Uxx с начальным отклонением U(x,0) = j(x) и начальной скоростью записывается в виде U(x,t) = + y(x)dx. Тогда решение уравнения Utt = Uxx при начальном отклонении U(x,0) = и начальной скорости Ut (x,0) =имеет вид:

• U(x,t) =
• U(x,t) =
• U(x,t) =
• U(x,t) =

Уравнения характеристик для дифференциального уравнения ut + 4ux = 0 имеют вид

• = 1; = 4
• = 4; = 1
• = 4; = 1
• = 1; = 4