Вычислительная математика. Часть 1

Формулы для относительной погрешности арифметических действий над числами имеют вид:

• ,

Подынтегральная функция y = f(x) задана таблично x 0,6 0,9 1,2 y 1,0 1,4 1,5 Вычисление интеграла методом Симпсона при h = 0,3 дает значение, равное ___________ (укажите два знака после запятой)

Дано нелинейное уравнение cos(2x) – 2x + π∕4 = 0 и начальное условие x0 = π∕4. Первое приближение метода Ньютона x1 будет равно

• 3π ∕ 4
• 5π ∕ 16
• 3π ∕ 16
• π ∕ 2

Для величин x = 2 и y = 5 известны относительные погрешности δ(x)=0,005 и δ(y) = 0,002. Относительная погрешность частного δ(x ∕ y) равна _________ (укажите число с точностью до 0,001)

Укажите соответствие между видами матриц и их названием:

• матрица, у которой выше главной диагонали все элементы матрицы равны нулю
• разреженная матрица
• квадратная матрица, у которой все ненулевые элементы образуют «ленту», параллельную главной диагонали, а все остальные элементы матрицы равны нулю
• ленточная матрица
• матрица, у которой ненулевых элементов гораздо меньше, чем нулевых
• нижняя треугольная матрица

Условия Фурье заключаются в выполнении условий

• F′(x) > 0, F″(x) ≠ 0, F′(x0) > 0
• F′(x), F″(x) знакопостоянны, F(x0)F″(x0) > 0
• F″(x), F″′(x) знакопостоянны, F(x0) ≠ 0
• F(x), F′(x) непрерывны, F″(x0) > 0

Функция u(x,y) задана таблицей. xy 1 1,2 1,4 0,5 1,1 1,4 1,7 0,6 V 1,3 1,5 2,1 0,7 1,8 1,7 2,0 Значение частной производной , вычисленное с помощью правой разности, в точке x = 0,6; y = 1,0 (точка в таблице помечена галочкой) равно ____________ (укажите один знак после запятой)

Нелинейное уравнение задано в виде x = φ(x). Тогда условием сходимости метода простой итерации будет условие

• 2
• φ′(x) ∙ φ″(x) > 0
• φ(x) – непрерывная функция

Сопоставьте различным типам матриц их вид:

• диагональная
• нижняя треугольная
• симметричная
• единичная

Функция u(x,y) задана таблицей xy 3,0 3,2 3,4 0,5 1,0 1,4 2,2 0,7 1,2 1,8 2,6 0,9 1,8 V 2,4 3,4 Значение частной производной , вычисленное с помощью левой разности, в точке x = 0,9; y = 3,2 (точка в таблице помечена галочкой) равно ____________ (укажите один знак после запятой)

Задана система линейных уравнений Один шаг метода Зейделя с начальным приближением { 0; 1; 0 } дает следующее первое приближение

• { 0,5; 2; 0,1}
• { 0,5; 2; 0,0205}
• { 0,5; 2,05; 0,205}
• { 0,3; 2,05; 2}

Значительная потеря точности при выполнении арифметических операций на ЭВМ происходит при __________________ чисел

• сложении близких
• вычитании близких
• умножении близких
• делении больших

Сопоставьте каждому из методов решения нелинейного уравнения условие его сходимости:

• метод Ньютона
• сходится всегда для непрерывных функций
• метод итераций
• сходится при для уравнения
• метод половинного деления
• сходится при для уравнения

Задана линейная система уравнений в матричном виде с симметричной матрицей . Ее степень обусловленности равна ______ (ответ – целое число)

Интерполяционный многочлен второй степени вида называется

• многочленом Ньютона
• квадратичной интерполяцией
• интерполяционным многочленом Лагранжа

Подынтегральная функция y = f(x) задана таблично. Вычисление интеграла x 0 0,5 1,0 y 0 0,7 1,5 методом трапеций при h = 0,5 дает значение, равное ___________ (укажите три знака после запятой)

Сопоставьте понятия, применяемые при решении системы линейных уравнений

• система записана в виде, удобном для итераций, если она имеет вид
• произведения нижней треугольной матрицы на верхнюю треугольную матрицу
• метод Гаусса заключается в сведении исходной матрицы системы
• невязкой системы называется выражение
• к верхней треугольной матрице
• LU – разложение матрицы системы представляет ее в виде

Заданы матрицы A) , B) , C) Условиям диагонального преобладания удовлетворяет матрица

• C
• A и B
• A
• B

При решении систем нелинейных уравнений можно использовать метод:

• итераций
• Ньютона
• Гаусса

Функция u(x,y) задана таблицей xy 3,0 3,2 3,4 0,5 1,0 1,4 2,2 0,7 1,2 1,8 2,6 0,9 1,8 2,4 V 3,4 Значение частной производной , вычисленное с помощью левой разности, в точке x = 0,9; y = 3,4 (точка в таблице помечена галочкой) равно ____________ (укажите один знак после запятой).

Для величин x = 2 и y = 1 известны относительные погрешности δ(x) = 0,001 и δ(y) = 0,002. Относительная погрешность разности δ(x – y) равна _________ (укажите число с точностью до 0,001)

Этапы решения задачи на ЭВМ

• математическая модель
• формулировка физической модели процесса
• численный метод решения
• построение приближенного метода и алгоритма его реализации для решения задачи
• постановка задачи
• математическое описание процесса уравнениями и граничными условиями

Для таблично заданной функции x 0 0,2 0,4 y 0 0,08 0,32 значение y(0,1), вычисленное с помощью линейной интерполяции, равно _________ (укажите два знака после запятой)

Функция u(x,y) задана таблицей xy 3,0 3,2 3,4 0,5 1,0 1,4 2,2 0,7 1,2 V 1,8 2,6 0,9 1,8 2,4 3,4 Значение частной производной , вычисленное с помощью центральной разности, в точке x = 0,7; y = 3,2 (точка в таблице помечена галочкой) равно ____________ (укажите один знак после запятой).

Задана табличная функция y = f(x). x 2 2,1 2,2 y 3,5 3,8 4,3 Первая производная на правом конце , вычисленная с погрешностью , равна ___________ (укажите два знака после запятой)

В таблично заданной функции производная в точке вычислена с использованием шагов h и 2h. Получены величины = 1,5 и = 1,3. Погрешность формулы для вычисления производных имеет порядок . Тогда уточненное значение производной по методу Рунге равно ___________ (укажите один знак после запятой)

Для решения линейной системы уравнений методом итерации используются следующие формулы

• приведение к виду, удобному для итераций
• метод Зейделя
• метод простой итерации
• условия сходимости итераций

Один шаг метода Эйлера для задачи Коши с шагом h = 0,1 дает следующий результат ____________ (укажите один знак после запятой)

Формула метода Ньютона для нелинейного уравнения F( x ) = 0 имеет вид:

• xk+1 = xk − F( xk ) / F′( xk )
• xk+1 = xk ( 1 − F( xk ) )
• xk+1 = xk + F′( xk ) / F( xk )
• xk+1 = F( xk )

Функция u(x,y) задана таблицей xy 1 1,2 1,4 0,5 1,1 1,4 1,7 0,6 1,3 1,5 2,1 0,7 1,8 1,7 2,0 Значение частной производной , вычисленное с помощью центральной разности в точке x = 0,6; y = 1,2, равно ____________ (укажите только целую часть)

Функция u(x,y) задана таблицей. xy 3,0 3,2 3,4 0,5 1,0 1,4 2,2 0,7 1,2 V 1,8 2,6 0,9 1,8 2,4 3,4 Значение частной производной , вычисленное с помощью центральной разности, в точке x = 0,7; y = 3,2 (точка в таблице помечена галочкой) равно ____________ (укажите один знак после запятой).

Задана линейная система . Начиная с начального значения x1(0) = x2(0) = x3(0) = 0, один шаг метода Зейделя { x1(1), x2(1), x3(1)} будет равен

• {0,75; 1,35; 0,05}
• {0,75; 1,35; 0,445}
• {0,75; 1,2; 0,445}
• {0,75; 1,2; 0,1}

При вычислении методом Гаусса определитель матрицы A = равен __________ (укажите число с точностью до целых).

Этапы решения задачи на ЭВМ

• составление и отладка программы
• проверка соответствия полученных данных формулировке физической модели
• вычислительный эксперимент
• моделирование реального процесса на ЭВМ с использованием математической модели
• расчеты, анализ результатов
• запись алгоритма на алгоритмическом языке. Выбор исходной, промежуточной и результирующей информации

Установить соответствие между определителем матрицы и результатом его вычисления

• – 5
• – 64
• – 1

Один шаг метода половинного деления для уравнения x2−2 = 0 для начального отрезка [0; 2] дает следующий отрезок

• [0; 1]
• [1,5; 2]
• [0,5; 1]
• [1; 2]

Установите соответствие между типами аппроксимации и их свойствами:

• глобальная интерполяция
• кусочно-многочленная интерполяция
• точечная аппроксимация
• аппроксимирующая функция φ(x) строится на заданном отрезке
• непрерывная аппроксимация
• аппроксимирующая функция φ(x) строится на дискретном множестве точек
• сплайнинтерполяция
• для интерполяции исходной функции на заданном интервале используется один интерполяционный многочлен

Выбор численного метода решения задачи заключается в том, чтобы:

• выбрать один из известных численных методов, разработанных в вычислительной математике для широкого круга задач
• разработать собственный метод решения задачи
• табулировать исходные данные
• использовать известный метод, внеся собственные коррективы, учитывающие специфику задачи

Укажите расширенную матрицу для каждой системы уравнений

Подынтегральная функция имеет вид многочлена. Для какого многочлена его квадратурная формула интегрирования является точной

• метод трапеций
• 2n
• метод Симпсона
• 3
• метод Гаусса для n точек разбиения
• 1

Максимальные и минимальные положительные собственные значения матрицы A и обратной ей матрицы A-1 λmax( A ), λmin( A ), λmax( A-1), λmin( A-1) связаны соотношениями

• λmax( A-1) = λmax( A ), λmin( A-1) = λmin( A )
• λmax( A-1) = λmin( A ), λmin( A-1) = λmax( A )
• λmax( A-1) = λmax( A ) + λmin( A ), λmin( A-1) = λmax( A ) − λmin( A )

Аппроксимация, при которой многочлен не обязательно проходит через заданные точки (узлы), называется

• равномерным приближением
• среднеквадратичным приближением
• интерполяцией

Указать LU-разложение для матрицы A

Функция u(x,y) задана таблицей xy 3,0 3,2 3,4 0,5 1,0 1,4 2,2 0,7 1,2 1,8 2,6 0,9 V 1,8 2,4 3,4 Значение частной производной , вычисленное с помощью правой разности, в точке x = 0,9; y = 3,0 (точка в таблице помечена галочкой) равно ____________ (укажите один знак после запятой)

Для величин x = 2 и y = 8 известны относительные погрешности δ(x)=0,01 и δ(y) = 0,02. Относительная погрешность суммы δ(x + y) равна _________ (укажите число с точностью до 0,001)

Операции над числами в компьютере выполняются точно, если эти числа являются:

• двоичными
• действительными
• целыми

Формула линейной интерполяции имеет вид

Разностная схема называется устойчивой, если

• решение разностной схемы стремится к константе
• она определяет решение, не выходящее за круг данного радиуса
• она аппроксимирует дифференциальное уравнение
• малому изменению входных данных соответствует малое изменение решения

Функция u(x,y) задана таблицей. xy 3,0 3,2 3,4 0,5 1,0 1,4 2,2 0,7 V 1,2 1,8 2,6 0,9 1,8 2,4 3,4 Значение частной производной , вычисленное с помощью центральной разности, в точке x = 0,7; y = 3,0 (точка в таблице помечена галочкой) равно ____________ (укажите один знак после запятой).

Результат вычисления интеграла методом Симпсона с разбиением на два интервала (h = 1) равен ___________ (укажите три знака после запятой)