Вычислительная математика (профильный курс). Часть 1

Максимальные и минимальные положительные собственные значения матрицы А и обратной ей матрицы связаны соотношениями

• λmax( A-1) = λmax( A ) + λmin( A ), λmin( A-1) = λmax( A ) − λmin( A )
• λmax( A-1) = λmin( A ), λmin( A-1) = λmax( A )
• λmax( A-1) = λmax( A ), λmin( A-1) = λmin( A )

Достаточные условия сходимости метода Зейделя для системы линейных уравнений с матрицей A заключаются в том, что

• aii ≠ 0 ( i = 1, 2, . . . n )
• ( i = 1, 2, . . . n ; j = 1, 2, . . . n )
• ( i = 1, 2, . . . n ; j = 1, 2, . . . n )
• ( 1 ≤ j ≤ n , j ≠ i , i = 1, 2, . . . n )

Дана система . Первое приближение для метода простой итерации с начальным приближением будет равно

• ( 0,5 ; 0,4 )
• ( 0,14 ; 0,13 )
• ( 0,9 ; 0,9 )
• ( 0,13 ; 0,14 )

Нелинейное уравнение задано в виде x = φ( x ) . Тогда условием сходимости метода простой итерации будет условие

• φ( x ) — непрерывная функция
• 2
• φ′(x) ∙ φ″(x) > 0

Для матрицы LU-разложение имеет вид

• L = U =
• L = U =
• L = U =
• L = U =

Единичной матрицей является матрица

Матрица А= называется

• верхней треугольной
• трехдиагональной
• треугольной
• ленточной

Дано нелинейное уравнение и начальное условие Первое приближение метода Ньютона x1 будет равно

• 5π ∕ 16
• π ∕ 2
• 3π ∕ 4
• 3π ∕ 16

Уравнение записано в виде, удобном для итераций: Первое приближение метода итераций x1 для начального приближения равно

• π ∕ 4
• π ∕ 8
• 3π ∕ 4
• 3π ∕ 8

Для величин x = 2 и y = 1 известны относительные погрешности и Относительная погрешность разности равна

• 0,001
• 0,0002
• 0,004
• 0,003

Число 125,7 в ЭВМ для режима с плавающей точкой в нормализованном виде имеет следующее представление

• 125,7
• 0,01257∙104
• 0,1257∙103
• 1,257∙102

Заданы уравнения Вид, удобный для итераций, имеют уравнения

• 1, 2
• 1, 4
• 2, 3, 4
• 2, 4

Даны линейные системы 1) 2) 3) 4) Свойством диагонального преобладания обладают системы

• 2, 3, 4
• 2, 4
• 1, 2
• 1, 4

Для нелинейного уравнения F( x ) = 0 задан интервал на котором и непрерывна. На нем можно гарантировать сходимость

• методов половинного деления и секущих
• метода Ньютона
• методов половинного деления и хорд
• методов Ньютона и секущих

Порядок сходимости метода итераций в общем случае равен

• 0,5
• 0
• 1
• 2

Симметричная матрица имеет собственные значения

• часть комплексных, часть действительных
• не имеет собственных значений
• все действительные
• комплексно-сопряженные числа

Задана линейная система Первое приближение метода простой итерации при начальном значении дает результат

• { 1,9 ; 0,9 }
• { 2 ; 2,7 }
• { 1,9 ; 2,7 }
• { 2 ; 1 }

Дана система линейных уравнений . Для сходящегося метода Зейделя ее надо записать в виде

Заданы нелинейные уравнения вида Вид, удобный для итераций, имеют следующие уравнения

• второе
• второе и третье
• первое и второе
• первое

Абсолютные погрешности величин x и y равны и Абсолютная погрешность суммы будет равна

• 0,2
• 0,5
• −0,3
• 0,3

Задано нелинейное уравнение вида и начальное приближение Один шаг метода простой итерации дает

• x1 = 1
• x1 = 10
• x1 = 2,5
• x1 = 4

Для линейной системы уравнений вычисления по итерационной формуле называют методом

• Ньютона
• релаксации
• простой итерации
• Зейделя

Задано нелинейное уравнение вида x3 + 2x — 1 =0 и отрезок на котором находится корень. Один шаг метода половинного деления дает отрезок

• [ 0 ; 0,5 ]
• [ 0,25 ; 1 ]
• [ 0,25 ; 0,75 ]
• [ 0,5 ; 1 ]

Выбор начального приближения на сходимость метода Зейделя при решении систем линейных уравнений

• влияет всегда
• влияет, если матрица не симметричная
• не влияет
• влияет, если матрица не является верхней треугольной

Даны уравнения: 1) Метод итераций будет сходиться для уравнений

• 1, 3 и 4
• 2 и 3
• 2 и 4
• 1 и 2

Метод Гаусса заключается в сведении исходной матрицы системы к эквивалентному виду, где матрица преобразованной системы является

• ленточной матрицей
• верхней треугольной матрицей
• диагональной матрицей
• симметричной матрицей

Степень обусловленности линейной системы уравнений будет равна

• 10
• 100
• 50
• 0,01

Для величин x и y заданы абсолютные погрешности и Тогда абсолютная погрешность разности равна

• −1,49
• 1,49
• −1,51
• 1,51

Задана линейная система уравнений с симметричной матрицей . Ее степень обусловленности равна

• 5
• 10
• 1000
• −10

Дана система задано начальное приближение Один шаг метода Зейделя дает первое приближение

• ( 0,6 ; 1 )
• ( 0,1 ; 1,06 )
• ( 0,6 ; 1,1 )
• ( 0,6 ; 1,06 )

Заданы матрицы 1) , 2) , 3) Условиям диагонального преобладания удовлетворяют матрицы

• 3
• 2
• 1 и 2
• 1

Для величин x = 10 и y = 20 известны относительные погрешности и Относительная погрешность произведения равна

• 0,000015
• 0,008
• 0,011
• 0,002

Задана система линейных уравнений Один шаг метода Зейделя с начальным приближением дает следующее первое приближение

• { 0,5 ; 2 ; 0,1 }
• { 0,3 ; 2,05 ; 2 }
• { 0,5 ; 2,05 ; 0,205 }
• { 0,5 ; 2 ; 0,0205 }

Дано уравнение x = sinx + 1 и начальное приближение Первое приближение x1 метода итераций равно

• 0
• 2
• 1
• π

Заданы системы линейных уравнений 1) 2) 3) .Свойством диагонального преобладания обладают матрицы систем

• 2
• 1 и 2
• 2 и 3
• 1

Матрица А имеет наибольшее собственное значение 30. Тогда обратная матрица А-1 имеет наименьшее собственное значение

• 1
• (30)2

Полную проблему собственных значений можно решать методом

• вращений
• Ньютона
• Зейделя
• Степенным

Если на отрезке [ a , b ] функция F( x ) непрерывна, то метод половинного деления для уравнения сходится

• при F′( x ) > 0
• при
• если F( x ) ∙ F′( x ) > 0
• всегда

Заданы системы линейных уравнений 1) 2) 3) .Свойством диагонального преобладания обладают матрицы систем

• 3
• 2 и 3
• 1 и 3
• 2

Метод Зейделя для системы линейных уравнений

• сходится при любом начальном приближении
• сходится при x1 = 0 , x2 = 0
• расходится при любом начальном приближении
• приведет к зацикливанию

Задано нелинейное уравнение F( x ) = 0 , для которого известно, что . Тогда точность вычисления корня на k-ой итерации (x* − точное значение корня) будет меньше, чем

• 0,2 F′(xk)
• 0,2 F( xk )
• ( 0,2 )k

Дано нелинейное уравнение x2 − sinx + 1 = 0 и начальное приближение Первое приближение x1 в методе Ньютона равно

• 0,1
• −1
• 0,5
• 1

Даны линейные системы 1) 2) 3) 4) Свойством диагонального преобладания обладают системы

• 1 и 4
• 1, 3 и 4
• 3 и 4
• 1 и 2

Линейная система уравнений задана в виде Тогда x1 и x2 равны

• { 2 ; 1 }
• { 1 ; 1 }
• { 2 ; 0 }
• { 1 ; 2 }

Значительная потеря точности при выполнении арифметических операций на ЭВМ происходит

• при вычитании близких чисел
• при сложении близких чисел
• при делении больших чисел
• при умножении близких чисел

Погрешность математической модели является

• регулируемой
• возрастающей
• неустранимой
• вычислительной

Матрица A = имеет собственные значения:

• 1 и 1
• 2 и 1
• 1 и 3
• 2 и 3

Дано уравнение x3 — x = 0 и начальное приближение x0 = 1. Результат одного шага метода Ньютона равен

• x1 = −1
• x1 = 1
• x1 = 2
• x1 = 0,5

Дана система уравнений Для сходимости итерационного метода ее надо записать в виде

Для величин x = 1 и y = 2 известны абсолютные погрешности и Абсолютная погрешность произведения равна

• 0,007
• 0,000005
• 0,006
• 0,011