Теоретическая механика

ЗАДАЧА К1
Точка В движется в плоскости ху (рис. К.1.0 — К1.9,
табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно),
Закон движения точки задан уравнениями:
x f t  1
,
y f t  2
, где x и y выражены в сантиметрах, t — в секундах.
Найти уравнение траектории точки; для момента времени t =.1 с определить скорость и ускорение точки, а также
ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в
соответствующей точке траектории.
Зависимость
x f t  1
указана непосредственно на рисунках, а зависимость
y f t  2
в табл. К1 (для рис. 0 – 2 в
столбце 2, для рис. 3 – 6 в столбце 3, для рис. 7 – 9 в столбце
4). Изобразить на рисунке векторы
v
и
a .
Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и
решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по
которым определяются скорость, касательное и нормальное
ускорения точки при естественном способе задания ее движения.
В задаче все искомые величины нужно определить
только для момента времени
t 1 c . В некоторых вариантах
задачи К1 при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные
из тригонометрии формулы:
cos 2 1 sin 2cos 1
2 2        ,
sin 2  2cossin.

ЗАДАЧА К2
Механизм состоит из ступенчатых колес 1—3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей,
зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0 — К2.9, табл, К2), Радиусы
ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 — r1  2 см ,
R1  4 см
, у колеса 2 — r2  6 см, R2  8 см
, у колеса 3 —
r3 12 см , R3 16 см
. На ободьях колес расположены точки А, В и С.
В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или
закон изменения скорости ведущего звена механизма, где
t 1
— закон вращения колеса 1, s t 4
— закон движения рейки
4,
t 2
— закон изменения угловой скорости колеса 2,
V t 5
—
закон изменения скорости груза 5 и т.д. (везде

выражено в
радианах, s — в сантиметрах, t — в секундах). Положительное
направление для

и

против хода часовой стрелки, для
4
s ,
5
s
и
V4
, V5
— вниз.
39
Определить в момент времени
t 2 c 1 
указанные в
таблице в столбцах «Найти» скорости (
V — линейные,  — угловые) и ускорения (
a — линейные,
 — угловые) соответствующих точек или тел.

ЗАДАЧА Д1
Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость
0
v
, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в
вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные,
или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0 —
Д1.9, табл. Д1).
На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют
постоянная сила
Q
(ее направление показано на рисунках) и
сила сопротивления среды
R
, зависящая от скорости
v
груза
(направлена против движения); трением груза о трубу на участке АВ пренебречь.
43
В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит
на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу
f  0,2
) и переменная сила
F
, проекция которой
Fx
на ось х
задана в таблице.
Считая груз материальной точкой и зная расстояние
AB  l
или время
1
t
движения груза от точки А до точки В,
найти закон движения на участке ВС, т.е.
x  f t
, где
x  BD.
Указания. Задача Д1 – на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение основной задачи динамики). Решение задачи разбивается на части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение движения
точки (груза) на участке АВ, учтя начальные условия. Затем,
зная время движения груза, на участке АВ или длину этого
участка, определить скорость груза в точке В. Эта скорость
будет начальной для движения груза на участке ВС. После
этого нужно составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС тоже с учетом
начальных условий, ведя отсчёт времени от момента, когда
груз находится в точке В, и полагая в этот момент
t  0
. При
интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае,
когда заданна длина l участка, целесообразно перейти к переменному х, учтя, что

ЗАДАЧА Д2
Вертикальный вал АК. (рис. Д2.0 — Д2.9), вращающийся с постоянной угловой скоростью
1
10    с , закреплен подпятником в точке А и цилиндрическим подшипником
в точке, указанной в табл. Д8 в столбце 2 (АВ = ВD = DЕ = ЕК
= а). К валу жестко прикреплены тонкий однородный ломаный стержень массой m = 10 кг, состоящий из частей 1 и 2
(размеры частей стержня показаны на рисунках, где b= 0,1 м,
а их массы
m1
и
m2
пропорциональны длинам), и невесомый
стержень длиной
l  4b
с точечной массой
3 кг m3 
на конце; оба стержня лежат в одной плоскости. Точки крепления
стержней указаны в таблице в столбцах 3 и 4, а углы
, , , 
даны в столбцах 5—8.
Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшипника. При подсчетах принять а = 0,6 м.

ЗАДАЧА Д3
Механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, находится под действием приложенных сил в равновесии; положение равновесия определяется углами
, ,  , , 
(рис. Д3.0 — Д3.9, табл. Д3а и Д3б). Длины
стержней механизма равны:
l
1
 0,4 м, l
4
 0,6 м
(размеры
2
l
55
и
3
l
произвольны); точка Е находится в середине соответствующего стержня.
На ползун В механизма действует сила упругости
пружины
F
; численно
F  c
, где с — коэффициент жесткости пружины,
 — ее деформация. Кроме того, на рис. 0 и
1 на ползун D действует сила
Q , а на кривошип О1А — пара
сил с моментом М; на рис. 2—9 на кривошипы О1А и О2D
действуют пары сил с моментами M1 и М2.
Определить, чему равна при равновесии деформация

пружины, и указать, растянута пружина или сжата. Значения всех заданных величин приведены в табл. Д3а для рис. 0
— 4 и в табл. Д3б для рис. 5 — 9, где Q выражено в ньютонах, а
М, M1, М2 – в ньютоно-метрах.
Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом α; для большей наглядности ползун с направляющими и пружину изобразить так, как
в примере Д3 (см. рис. Д3, а также рис. Д3.10,б). Если на чертеже решаемого варианта задачи прикрепленный к ползуну В
стержень окажется совмещенным с пружиной (как на рис.
Д3.10,а), то пружину следует считать прикрепленной к ползуну с другой стороны (как на рис. Д3.10,б, где одновременно
иначе изображены направляющие).