Линейная алгебра

Какое из следующих уравнений описывает плоскость в трехмерном пространстве?

• (2x — 3y + z = 7)
• (x + 2y = 4)
• (3x + 4y — 2z = 5)
• (x — y + 2z = 0)

Какой метод используется для решения систем линейных уравнений, особенно когда количество уравнений превышает количество неизвестных?

• Метод Гаусса
• Метод Крамера
• Метод наименьших квадратов
• Метод Жордана

Как называется матрица, у которой все элементы равны нулю, кроме элементов на главной диагонали?

• Единичная матрица
• Диагональная матрица
• Треугольная матрица
• Нулевая матрица

Что такое собственное значение матрицы?

• Количество строк в матрице
• Число, которое умножается на вектор, не изменяя его направление
• Определитель матрицы
• Сумма элементов матрицы

Какой из следующих векторов является линейно зависимым от других?

• ([1, 2, 3])
• ([0, 0, 0])
• ([2, 4, 6])
• ([1, -1, 1])

Какой вид матрицы остается неизменным при её умножении на обратную матрицу?

• Треугольная матрица
• Единичная матрица
• Диагональная матрица
• Симметрическая матрица

Что такое ранг матрицы?

• Сумма элементов матрицы
• Максимальное количество линейно независимых строк (или столбцов) в матрице
• Определитель матрицы
• Количество строк в матрице

Как называется процесс преобразования матрицы в ступенчатую форму?

• Обратная матрица
• Приведение матрицы к ступенчатому виду
• Умножение матрицы на скаляр
• Транспонирование матрицы

Что такое скалярное произведение двух векторов?

• Умножение матрицы на вектор
• Сумма произведений соответствующих элементов двух векторов
• Определитель матрицы
• Транспонирование матрицы

Какой из следующих методов используется для нахождения собственных векторов и собственных значений матрицы?

• Метод Крамера
• Метод степенных итераций
• Метод Гаусса
• Метод наименьших квадратов

Какое из следующих определений вектора верно?

• Вектор — это матрица с одним столбцом.
• Вектор — это скалярное произведение двух матриц.
• Вектор — это среднее значение элементов матрицы.
• Вектор — это квадратный корень из матрицы.

Что такое скалярное произведение двух векторов?

• Сумма элементов векторов.
• Произведение длин векторов.
• Произведение матрицы на вектор.
• Сумма произведений соответствующих элементов векторов.

Какая из следующих операций применяется для нахождения обратной матрицы?

• Транспонирование.
• Умножение на скаляр.
• Умножение матрицы на вектор.
• Инверсия.

Какой метод используется для решения систем линейных уравнений с помощью матриц?

• Метод наименьших квадратов.
• Метод простой итерации.
• Метод градиентного спуска.
• Метод Гаусса-Жордана.

Что такое собственное значение матрицы?

• Сумма элементов матрицы.
• Корень из определителя матрицы.
• Обратная матрица.
• Число, при умножении на которое матрица просто растягивается или сжимается, но не поворачивается.

Как называется матрица, у которой все элементы равны нулю, кроме элементов на главной диагонали?

• Единичная матрица.
• Треугольная матрица.
• Диагональная матрица.
• Симметричная матрица.

Каково свойство определителя матрицы при транспонировании?

• Определитель остается неизменным.
• Определитель меняет знак.
• Определитель умножается на транспонированную матрицу.
• Определитель умножается на число элементов матрицы.

Каково свойство симметричной матрицы?

• Она обратима.
• Определитель равен нулю.
• Она ортогональна.
• Элементы отражены относительно главной диагонали.

Какой метод используется для вычисления собственных значений и собственных векторов матрицы?

• Метод Якоби.
• Метод Лагранжа.
• Метод Ньютона.
• Метод степенных итераций.

Что такое линейная зависимость векторов?

• Векторы, направленные в одном направлении.
• Векторы, лежащие в одной плоскости.
• Векторы, сумма которых равна нулевому вектору.
• Векторы, которые можно выразить как линейную комбинацию других векторов.

Какая из следующих матриц является единичной матрицей?

• 1 0 0
• 0 1 0
• 0 0 1
• 1 1 1

Что такое определитель матрицы?

• Сумма элементов матрицы
• Произведение элементов матрицы
• Число, связанное с линейными преобразованиями, обозначается det
• Обратная матрица

Какова размерность пространства, порожденного системой векторов?

• Скаляр
• Матрица
• Вектор
• Ранг

Как вычислить скалярное произведение двух векторов a и b?

• a × b
• a • b
• a / b
• a^T b

Что такое линейная независимость векторов?

• Сумма векторов
• Произведение векторов
• Векторы, равные нулю
• Отсутствие линейной зависимости между векторами

Какова формула для вычисления обратной матрицы A^-1?

• A / det(A)
• A^T
• (adj(A)) / det(A)
• A / rank(A)

Что такое собственное значение матрицы?

• Определитель матрицы
• Ранг матрицы
• След матрицы
• Число λ, при котором det(A — λI) = 0

Как найти ранг матрицы?

• Суммированием элементов матрицы
• Умножением элементов матрицы
• Применением элементарных преобразований к матрице
• Нахождением определителя матрицы

Что такое система линейных уравнений?

• Графическое представление линейных функций
• Совокупность матриц
• Неравенство с переменными
• Совокупность уравнений с линейными коэффициентами

Какие из следующих операций являются элементарными преобразованиями матриц?

• Умножение на константу
• Прибавление к одной строке другой строки, умноженной на константу
• Транспонирование
• Деление на элемент матрицы

Какое из следующих утверждений верно отражает основное свойство векторов в линейной алгебре?

• Векторы можно складывать и умножать на число, сохраняя их направление и длину.
• Векторы можно только складывать, но нельзя умножать на число.
• Векторы можно только умножать на число, но нельзя складывать.
• Векторы не могут быть сложены или умножены на число.

Какой из следующих методов используется для решения систем линейных уравнений?

• Метод случайных итераций.
• Метод дихотомии.
• Метод Гаусса-Жордана.
• Метод Фибоначчи.

Что представляет собой определитель матрицы?

• Сумму элементов матрицы.
• Среднее арифметическое элементов матрицы.
• Число, связанное с линейными преобразованиями и объемом.
• Максимальный элемент матрицы.

Какое условие необходимо для того, чтобы матрица была обратимой (невырожденной)?

• Сумма всех элементов матрицы не равна нулю.
• Матрица должна быть квадратной.
• Определитель матрицы должен быть равен нулю.
• Определитель матрицы должен быть неравен нулю.

Какое утверждение верно для собственных значений и собственных векторов матрицы?

• Собственные значения и векторы матрицы не существуют.
• Собственные векторы соответствуют собственным значениям матрицы.
• Собственные значения соответствуют векторам, обратным собственным векторам.
• Сумма собственных значений всегда равна единице.

Какие из перечисленных операций можно выполнять над матрицами?

• Умножение матрицы на матрицу и деление матрицы на матрицу.
• Сложение матриц и умножение матрицы на вектор.
• Возведение матрицы в степень.
• Все перечисленные операции.

Какова размерность пространства, порождаемого системой векторов?

• Размерность равна единице.
• Размерность равна количеству векторов в системе.
• Размерность равна сумме длин векторов.
• Размерность равна количеству линейно независимых векторов в системе.

Какой из следующих методов используется для нахождения собственных значений матрицы?

• Метод Ньютона.
• Метод Фурье.
• Метод степенных итераций.
• Метод квадратного корня.

Что представляет собой скалярное произведение векторов?

• Сумму элементов векторов.
• Произведение элементов векторов.
• Сумму произведений соответствующих элементов векторов.
• Разность элементов векторов.

Каково значение следа матрицы?

• Сумма элементов матрицы.
• Произведение элементов матрицы.
• Среднее арифметическое элементов матрицы.
• Сумма элементов главной диагонали матрицы.